Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 13
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
13-
Passo 1
Fala galera, tudo bem? O problema nos dá essa sequência de números
Nossa missão aqui é determinar se essa sequência de números é convergente ou divergente. E se for convergente, para acharmos a soma. Mas como assim? Uma soma de infinitos números pode ser um valor finito?
Pode sim! Isso acontece com séries geométricas de razão menor do que o módulo de 1!
Quando podemos escrever a soma de números infinitos na forma de uma soma assim
Dizemos que a série é do tipo geométrica. E se a razão for menor do que 1, então a soma desses infinitos números pode ser calculada assim
Beleza? Então a ideia é escrever a sequência dada em forma de série, identificar a razão e ver se ela se encaixa no critério de convergência!
Beleza? Bora lá?
Passo 2
Nossa sequência é
Ela começa em e o segundo número é , então vamos ver qual é a razão: dividindo o segundo termo pelo primeiro
E para verificarmos que é uma série geométrica, vamos dividir o terceiro termo pelo segundo: se acharmos o mesmo fator então ok! Temos uma série geométrica
Beleza! Nossa razão é mesmo essa! Nossa série então pode ser escrita assim
Passo 3
A série é uma progressão geométrica com razão igual a:
E pelo módulo dessa série ser maior que ou seja:
Logo podemos dizer que a somatória dessa série só tenderá a crescer, sendo então uma série divergente.
Resposta
Série divergente.