Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 16
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
16-
Passo 1
Fala galera, tudo bem? O problema nos dá essa série numérica
Nossa missão aqui é determinar se essa série de números é convergente ou divergente. E se for convergente, para acharmos a soma. Mas como assim? Uma soma de infinitos números pode ser um valor finito?
Pode sim! Isso acontece com séries geométricas de razão menor do que o módulo de 1!
Quando podemos escrever a soma de números infinitos na forma de uma soma assim
Dizemos que a série é do tipo geométrica. E se a razão for menor do que 1, então a soma desses infinitos números pode ser calculada assim
Beleza? Então a ideia é escrever a série dada na forma de série geométrica, identificar a razão e ver se ela se encaixa no critério de convergência!
Beleza? Bora lá?
Passo 2
Nossa série é
Precisamos reorganizar os termos em uma base comum com expoente , para acharmos quem é a razão, então vamos começar separando os expoentes tanto do numerador quanto do denominador
E podemos ainda agrupar os expoentes iguais
Tranquilo?
Passo 3
Agora vamos escrever os termos de nossa série
Onde o primeiro termo será igual a e os próximos termos formarão a série geométrica abaixo.
Isso é e razão dessa série geométrica é igual a divisão do segundo termo pelo primeiro:
O módulo de é maior que se caracterizando numa série divergente.
Espero ter ajudado!
Resposta
Série divergente.