Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 22
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
22-
Passo 1
Fala galera, tudo bem? O problema nos deu essa série aqui
E precisamos decidir se ela converge ou diverge. E agora? O problema ainda diz que se ela convergir, precisamos dar a soma dela. Mas como assim? Uma soma de infinitos números pode ser um valor finito?
Pode sim! Isso acontece com séries geométricas de razão menor do que o módulo de 1!
Quando podemos escrever a soma de números infinitos na forma de uma soma assim
Dizemos que a série é do tipo geométrica. E se a razão for menor do que 1, então a soma desses infinitos números pode ser calculada assim
Mas temos mais uma série conhecida! A série harmônica, ela é assim
Essa série é divergente, assim como todos os múltiplos dessa série! Então a ideia é com base nessas duas séries, decidir se a nossa se parece com alguma delas e se ela é convergente ou não!
Passo 2
Nossa série é
A série dada pode ser também escrita da seguinte forma:
Pois assim como integral e derivada a constante pode sair da somatória, e assim como no exemplo desse livro onde a série harmônica diverge, qualquer múltiplo dela também divergirá.
Ainda mais um múltiplo maior que 1 que só aumenta a velocidade da divergência né?
Sendo assim, nossa série diverge
Espero ter ajudado!
Resposta
Série divergente.