Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 34
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Fala meu amigo. Essa questão nos pede a soma de uma série, caso ela seja convergente. Então faz sentido pensarmos que, primeiro de tudo, temos que descobrir se ela é realmente convergente. Para isso precisamos lembrar de algumas propriedades de séries.
A sacada de mestre que você vai precisar agora é a seguinte!
A soma de séries é igual a série das somas. Ou seja:
utra propriedade diz que podemos “tirar” as constantes de “dentro” da série multiplicando apenas ao somatório final. Veja:
Agora que isso ficou claro. Vamos começar a resolver nosso exercício.
Passo 2
Percebemos então que a nossa série pode ser escrita da seguinte forma:
Aplicando a segunda propriedade:
Agora meu amigo, precisamos entender se essa soma é convergente. E como fazemos isso? Ora é simples, primeiro encontramos se cada uma das séries converge. Pois (guarde muito bem essa informação) uma soma de séries somente é convergente se, e somente se, todos os termos da soma são convergentes.
Então precisamos que as duas séries sejam convergentes. E será que são?
Passo 3
Vamos analisar a primeira série:
Isso é uma série do tipo geométrica.
Séries geométricas são séries que seguem a seguinte estrutura:
E são convergentes se sua a razão for menor que :
Vemos nesse caso que . Ou seja, é convergente.
Passo 4
Vamos analisar agora a série de número dois.
Bem, essa série é uma série harmônica. Vamos recordar o que são séries harmônicas?Toda série do tipo:
É uma série harmônica. Esse tipo de série só é convergente para .Vemos que no nosso caso . Ou seja, diverge.
Dito isso, a soma das séries é divergente.
Resposta
Série divergente.