Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 30
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
30-
Passo 1
Fala, amigos! Tudo na paz?
Para encontrar a divergência ou convergência da série, vamos precisar avaliar o comportamento da sequência dos termos da série com o Teste da Divergência.
Sabemos que a série :
- Diverge se ou não existir.
Caso a série tem grandes chances de convergir. Isso não garante que a série converge; outros testes podem ser necessários para determinar a convergência. Caso a série convirja, seu , porém o contrário nem sempre é verdade.
Vamos calcular nosso limite, então!
Passo 2
O limite que precisamos calcular será:
Dividindo numerador e denominador por para ficarmos somente com um termo na nossa sequência em função de ao invés dos dois termos que temos agora. Note como a análise de um só termo vai ficar bem mais simples:
Finalmente calculando nosso limite, vamos ver que quando nossa fração diminui cada vez mais, se aproximando mais e mais de zero. Então:
Logo a sequência da série toda tenderá a:
Como nosso valor do limite é diferente de zero, logo a série diverge.
Resposta
Série divergente.