Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

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∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n 2 n + 5

Passo 1

Fala, amigos! Tudo na paz?

Para encontrar a divergência ou convergência da série, vamos precisar avaliar o comportamento da sequência dos termos da série a n com o Teste da Divergência.

Sabemos que a série ∑ n = 1 ∞ a n :

  • Diverge se lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0 ou não existir.

Caso lim n → ∞ ⁡ a n = 0 a série tem grandes chances de convergir. Isso não garante que a série converge; outros testes podem ser necessários para determinar a convergência. Caso a série convirja, seu lim n → ∞ ⁡ a n = 0 , porém o contrário nem sempre é verdade.

Vamos calcular nosso limite, então!

Passo 2

O limite que precisamos calcular será:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 2 n + 5

Dividindo numerador e denominador por n para ficarmos somente com um termo na nossa sequência em função de n ao invés dos dois termos que temos agora. Note como a análise de um só termo vai ficar bem mais simples:

lim n → ∞   ln ⁡ 1 2 + 5 n ⁡  

Finalmente calculando nosso limite, vamos ver que quando n → ∞ nossa fração 5 n diminui cada vez mais, se aproximando mais e mais de zero. Então:

lim n → ∞   ln ⁡ 1 2 + 5 n ⁡ = 1 2  

Logo a sequência da série toda tenderá a:

ln ⁡ 1 2 = - ln ⁡ 2 ≠ 0

Como nosso valor do limite é diferente de zero, logo a série diverge.

Resposta

Série divergente.

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