Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 23
Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
E aí, pessoal? Tudo tranquilo?
Nessa questão o enunciado já nos traz que a série é geométrica e pede para dizermos se ela é convergente ou divergente. Lembra como é essa análise para séries geométricas?
Esse tipo de série converge se . Esse é nossa razão, que é o valor fixo pelo qual cada termo é multiplicado para chegar no próximo termo.
Caso nossa série convirja, para achar a soma de uma série geométrica usamos:
Onde é o primeiro termo da série e e a razão da série.
Acompanha comigo!
Passo 2
Séries geométricas tem uma carinha assim:
Então vamos rearranjar nossos termos para que fiquem mais parecidos com esse formato, assim fica mais fácil acharmos e . Para isso basta substituir :
Portanto temos uma série geométrica com e .
Passo 3
Para sabermos se as séries geométricas convergem, basta que analisemos o . Para que ela convirja . Neste caso e sabemos que então a série converge.
Passo 4
Para saber para qual valor a série converge, basta usar a equação:
Fazendo e :
Resposta
A série converge e a soma é: