Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 48
Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre a sua soma.
Passo 1
Fala, galera! Tudo certo?
Vamos começar nossa resolução definindo nossa estratégia de resolução. Inicialmente, veja que a série possui chance de ser convergente, pois vamos pegar o termo geral que é dado por:
Vamos calcular . Se esse limite for zero, então sabemos que a série possui chance de ser convergente:
Dessa forma, nossa série possui chance de ser convergente. Agora, devemos ir para algum outro método de convergência / divergência. No caso, o próprio enunciado já nos deu a dica de expressar a série como sendo uma soma telescópica.
Para isso precisamos reescrever nossa como uma soma telescópica e fazemos isso escrevendo os termos da soma até o termo .
Relembrando o que é soma telescópica:
Soma telescópica é uma soma em que os termos se cancelam em pares, ou seja, de dois em dois. Fazemos vários cancelamentos que no fim nos restam apenas dois termos. Já dá para notar que simplifica bastante nossa soma , né?
Por fim, basta encontrarmos nossa soma da série.
Passo 2
Para começar, vamos dar uma simplificada nessa nossa série. Vamos colocar em evidência e depois usar a fatoração :
Observe que temos um termo e outro , o que nos indica fortemente a presença da série telescópica. Assim, uma boa estratégia será tentarmos separar em frações onde uma contém o termo e a outra contém o termo . O termo adicional poderá aparecer nas duas. Veja como podemos fazer isso:
Dessa forma,
Dessa forma, podemos escrever que:
Passo 3
Vamos computar aqui as somas parciais dessa série. Expandindo o somatório com , temos:
Simplificando os elementos opostos, ou seja, cancelando termos iguais mas com sinais diferentes, temos somente dois termos, como já sabíamos que aconteceria na soma telescópica.
Passo 4
Agora, para calcularmos , basta fazer . Segue que:
Resposta
A série é convergente, e