Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 21
Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma.
Passo 1
Fala aíí! Antes de qualquer coisa vamos expandir esse somatório do enunciado para enxergarmos melhor essa série:
A questão nos pede duas coisas:
- Determinar se a série geométrica é convergente ou divergente;
- Se for convergente, encontrar sua soma.
Show de bola? Então vamos lá!
Passo 2
O enunciado nos diz que estamos trabalhando com uma progressão geométrica. Você lembra como encontramos a razão de PGs? Basta a gente dividir o segundo termo pelo primeiro! Vamos chamar de a razão dessa PG. Assim,
onde o primeiro e o segundo termo da PG são,
e
Assim, substituindo os valores, temos:
Para determinar se a série é convergente ou divergente, observamos o valor absoluto de . Uma PG é considerada convergente quando e é divergente quando não satisfaz essa condição.
Como
E
Podemos afirmar que a série é convergente!
Passo 3
Vamos agora calcular a soma dessa série. Para uma séria infinita, temos a seguinte expressão para a soma:
Substituindo os valores, temos:
Portanto,
Resposta
A série é convergente e converge para !