Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma.

∑ n = 1 ∞ 12 0,73 n - 1

Passo 1

Fala aíí! Antes de qualquer coisa vamos expandir esse somatório do enunciado para enxergarmos melhor essa série:

12 0,73 0 + 12 0,73 1 + 12 0,73 2 + 12 0,73 3 + …

A questão nos pede duas coisas:

  1. Determinar se a série geométrica é convergente ou divergente;
  2. Se for convergente, encontrar sua soma.

Show de bola? Então vamos lá!

Passo 2

O enunciado nos diz que estamos trabalhando com uma progressão geométrica. Você lembra como encontramos a razão de PGs? Basta a gente dividir o segundo termo pelo primeiro! Vamos chamar de q a razão dessa PG. Assim,

q = a 2 a 1

onde o primeiro e o segundo termo da PG são,

a 1 = 12 0,73 0

e

a 2 = 12 0,73 1

Assim, substituindo os valores, temos:

q = 12 ( 0,73 ) 12 = 0,73

Para determinar se a série é convergente ou divergente, observamos o valor absoluto de q . Uma PG é considerada convergente quando - 1 < q < 1 e é divergente quando não satisfaz essa condição.

Como

q = 0,73

E

0,73 < 1

Podemos afirmar que a série é convergente!

Passo 3

Vamos agora calcular a soma dessa série. Para uma séria infinita, temos a seguinte expressão para a soma:

S = a 1 1 - q

Substituindo os valores, temos:

S = 12 1 - 0,73 = 12 0,27

Portanto,

S = 1200 27 = 400 9

Resposta

A série é convergente e converge para 400 9 !

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