Determine se a série é convergente ou divergente expressando s n como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre a sua soma.

∑ n = 4 ∞ 1 n - 1 n + 1

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo tranquilo?

Vamos lá! Para entender a convergência ou divergência de uma série.

Para que a série convirja precisamos analisar se o limite de s n (sequência de termos da soma) existe, ou seja:

lim n → ∞ ⁡ s n = s

Caso contrário, temos que a sequência diverge.

A soma será justamente o valor s   do limite que teremos achado. Caso a série seja divergente, ela não terá limite e consequentemente não terá soma.

Passo 2

Essa não é uma série geométrica, então vamos computar aqui as somas parciais dessa série:

s n = ∑ n = 4 ∞ 1 n - 1 n + 1

Expandindo essa soma começando em n = 4 :

∑ n = 4 ∞ 1 n - 1 n + 1 = 1 4 - 1 5 + 1 5 - 1 6 + … + 1 n - 1 n + 1

Simplificando os elementos iguais e de sinais opostos, ficamos somente com o primeiro e último termo:

s n = ∑ n = 4 ∞ 1 n - 1 n + 1 = 1 2 - 1 n + 1

Passo 3

Agora que escrevemos o somatório de outro modo, podemos verificar se a série é convergente ou divergente. A teoria de convergência de séries nos diz que se uma série da forma ∑ n = 1 ∞ a n é convergente, o seguinte limite existe e é igual a zero:

lim n → ∞ ⁡ s n = 0

Caso esse limite não exista ou seja diferente de zero, a nossa querida série será divergente! Vamos calcular esse limite:

Aqui analisamos cada parte dessa subtração que temos no limite. A primeira fração é constante, e o limite da constate é a própria constante.

Em 1 n + 1   vemos que quando n → ∞ , nosso denominador vai crescendo e ficando tão grande que torna esse termo cada vez menor, ou seja, tendendo a zero.

Assim:

lim n → ∞ ⁡ 1 2 - 1 n + 1 = 1 2

Como o lim n → ∞ ⁡ s n existe, então podemos afirmar que ela é convergente.

Passo 4

Como a soma é o próprio limite s   do lim n → ∞ ⁡ s n = s temos que:

lim n → ∞ ⁡ s n = 1 2

Portanto:

s = 1 2

A soma da série é 1 2 .

Resposta

Convergente. Soma: ∑ n = 4 ∞ 1 n - 1 n + 1 = 1 2

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