Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 46
Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre a sua soma.
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo tranquilo?
Vamos lá! Para entender a convergência ou divergência de uma série.
Para que a série convirja precisamos analisar se o limite de (sequência de termos da soma) existe, ou seja:
Caso contrário, temos que a sequência diverge.
A soma será justamente o valor do limite que teremos achado. Caso a série seja divergente, ela não terá limite e consequentemente não terá soma.
Passo 2
Essa não é uma série geométrica, então vamos computar aqui as somas parciais dessa série:
Expandindo essa soma começando em :
Simplificando os elementos iguais e de sinais opostos, ficamos somente com o primeiro e último termo:
Passo 3
Agora que escrevemos o somatório de outro modo, podemos verificar se a série é convergente ou divergente. A teoria de convergência de séries nos diz que se uma série da forma é convergente, o seguinte limite existe e é igual a zero:
Caso esse limite não exista ou seja diferente de zero, a nossa querida série será divergente! Vamos calcular esse limite:
Aqui analisamos cada parte dessa subtração que temos no limite. A primeira fração é constante, e o limite da constate é a própria constante.
Em vemos que quando , nosso denominador vai crescendo e ficando tão grande que torna esse termo cada vez menor, ou seja, tendendo a zero.
Assim:
Como o existe, então podemos afirmar que ela é convergente.
Passo 4
Como a soma é o próprio limite do temos que:
Portanto:
A soma da série é
Resposta
Convergente. Soma: