Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

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∑ n = 1 ∞ n + 1 2 n ( n + 2 )

Passo 1

Vamos aplicar o teste da divergência para ver se ela é convergente ou não.

Essa teoria tem um conceito bem simples, se a sequência no infinito não tender a zero, ela será divergente. Pois imagina que a sequência tenda a 2 , no infinito ela somará 2 infinitamente dando uma série divergente. Então é isso que vamos fazer, já que não podemos dizer nada só de olhar para essa sequência:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n ( n + 2 ) = lim n → ∞ ⁡ n 2 + 2 n + 1 n 2 + 2

Dividindo numerador e denominador por n 2 temos:

lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n + 1 n 2 1 + 2 n 2

Fazendo agora o limite temos:

lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n + 1 n 2 1 + 2 n 2 = 1

Ou seja, no infinito estaremos somando 1 infinitamente (poético) no resultado da soma, o que nos dá uma série divergente.

Resposta

Série divergente.

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