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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 28

Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

28-

∑ n = 1 ∞ 0.8 n - 1 - 0.3 n

Passo 1

E aí, galera? Tudo certo?

Bom, assim como numa integral onde a integral da soma é a soma das integrais, nós também podemos dizer que a somatória das somas é a soma dos somatórios. Poético mas o que foi dito é que podemos fazer isso aqui embaixo ó:

∑ n = 1 ∞ ( 0.8 ) n - 1 - ∑ n = 1 ∞ ( 0.3 ) n

Onde podemos ver que há a subtração de uma série convergente (de razão geométrica igual a 0.8) por outra série convergente (de razão geométrica igual a 0.3).

O que a questão quer de nós é saber se a série é convergente ou divergente e sua soma (caso seja convergente) e nossa estratégia aqui é justamente reconhecermos que se tratam de séries geométricas e para séries desse tipo é muuuuito mais fácil encontrar a convergência ou divergência.

A série geométrica é do tipo:

∑ n = 1   ∞ a r n - 1

Esse tipo de série converge se r < 1 .

Por fim, esse tipo de série tem expressão pronta para cálculo da soma:

s n = a 1 - r

Dito isso, vamos para nossa resolução!

Passo 2

Para diferenciar, vamos chamar a soma da primeira série de s 1 e da segunda série de s 2 .

Fazendo a somatória das séries:

∑ n = 1 ∞ 0.8 n - 1

Nós teremos que a razão r = 0.8 e o primeiro termo dessa série valerá:

a 1 = 0.8 1 - 1 = 0.8 0 = 1

Logo o resultado dessa série valerá:

S 1 = a 1 1 - r = 1 1 - 0.8 = 5

Passo 3

Agora indo para a outra série:

∑ n = 1 ∞ 0.3 n

Nós teremos que o primeiro termo dessa série valerá:

a 1 = 0.3 1 = 0.3

E como a razão geométrica dessa série é r = 0.3 , logo a somatória dessa série será igual a:

S 2 = a 1 1 - r = 0.3 1 - 0.3 = 3 7

Passo 4

Dessa forma a somatória da série toda pode ser dada por:

∑ n = 1 ∞ ( 0.8 ) n - 1 - ∑ n = 1 ∞ ( 0.3 ) n = S 1 - S 2

Substituindo os valores que encontramos nos passos 2 e 3:

S 1 - S 2 = 5 - 3 7

Fazendo a subtração e simplificando, ficamos com:

S 1 - S 2 = 35 - 3 7 = 32 7

Resposta

Série convergente para o valor igual a 32 7 .

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