Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 33

Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

33-

Passo 1

E aí, pessoal? De boa?

Vamos entender nossa estratégia de resolução aqui:

Para determinar convergência ou divergência vamos usar o Teste da Divergência. Relembrando:

Sabemos que a série :

Diverge se ou não existir.

Caso a série tem grandes chances de convergir. Isso não garante que a série converge; outros testes podem ser necessários para determinar a convergência. Caso a série convirja, seu , porém o contrário nem sempre é verdade.

Olhando nossos termos da série, podemos separar em duas séries: uma que será uma série geométrica e outra que será uma série telescópica:

Relembrando a série telescópica: é uma soma em que os termos de cancelam em pares, ou seja, de dois em dois. Fazemos vários cancelamentos que no fim nos restam apenas dois termos.

Já a série geométrica é do tipo:

Esse tipo de série converge se .

Por fim, esse tipo de série tem expressão pronta para cálculo da soma:

Agora que já relembramos nossos principais conceitos, vamos para nossa resolução!

Passo 2

A série pode ser escrita da seguinte forma:

Onde a segunda somatória é uma série geométrica onde o primeiro termo vale:

E a razão vale , logo o resultado dessa somatória será:

Por fim, teremos:

Como , a série geométrica converge.

Passo 3

Já a primeira somatória nós poderemos descobrir a sua soma separando a sequência em frações parciais tais como:

Somando as frações:

Dessa forma:

Encontrando o valor de :

Então podemos escrever a somatória como:

Agora vamos fazer a soma telescópica dessa somatória:

Aqui temos termos iguais com sinais diferentes e eles vão se “cancelar”. Note que só irão sobrar os termos e .

O que nos dará uma somatória igual a:

A soma telescópica é uma das mais difíceis de se ver, e ela deve ser vista sempre que tivermos a subtração de duas séries ou quando se dá para fazer a separação por frações parciais de uma fração, pois quase sempre um termo é positivo e outro é negativo.