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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 15

Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

15.

∑ n = 1 ∞ 5 2 3 n - 1

Passo 1

E aí, galera, beleza? Mais uma bomba pra gente resolver...

A gente precisa determinar se a série é convergente ou divergente. E se for convergente, a gente faz a soma dela.

Primeiro, vamos observar esta série:

∑ n = 1 ∞ 5 2 3 n - 1

Concorda que ela tem a cara de uma série geométrica?

∑ n = 1 ∞ a r n - 1

Então vamos dar nome a cada um dos termos observando a série que nos foi dada:

a = 5

r = 2 3

Relembra que pra série geométrica:

  • Se a razão r   < 1 , então a série é convergente.
  • Se a razão r > 1 , então a série é divergente.

E se for convergente, sua soma será:

S = a 1 1 - q

Passo 2

Mão na massa agora:

A razão r = 2 3 é maior ou menor que 1 ?

2 3 = 0.6666 …

Então, se 0.666666 … é menor que 1 , logo esta série é convergente!

Passo 3

A questão pediu para que, se a série fosse convergente, a gente fizesse a soma.

Uma série geométrica convergente tem uma fórmula de somatória igual a:

S = a 1 1 - q

Pergunta, quem é a 1 ?

Quando você substitui o n da série por 1 , como ele mostra na parte inferior do somatório

∑ n = 1 ∞ 5 2 3 n - 1

Isso vai resultar no nosso a 1 :

a 1 = 5 2 3 1 - 1

a 1 = 5 2 3 0

a 1 = 5

Pronto! Achado o a 1 , a gente retorna à formula do somatório da série convergente e substitui os valores.

Portanto, o valor dessa série será igual a:

S = 5 1 - 2 3 = 5 1 3 = 15

Resposta

Série convergente cuja soma é igual a 15 .

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