Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.3 - Ex. 23
Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Certo meu amigo, temos uma série que não sabemos se converge ou diverge, e precisamos fazer a investigação. Entre os métodos que podem ser aplicados nesse exercício será escolhido o método da integral. E porque o método da integral? Ora, perceba que se eu criar uma função associada à essa série do tipo:
Eu tenho uma função relativamente simples de integrar. Isso significa que faz sentido tentarmos o método da integral, só precisamos então descobrir se é uma função contínua positiva e decrescente. Caso positivo, então o teste da integral é válido.
Passo 2
Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral?
Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza? 
Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral da série e associá-lo a uma função . Nesse nosso caso, ficamos com:
Então nossa função associada é:
Ainda como parte do primeiro passo, é bom avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio .
Perceba que não há nenhum termo negativo, além disso o único ponto em que a função não é contínua é quando o denominador for .
O que só acontece em e. (Mas perceba que nossa série começa em .) Ou seja, podemos afirmar que a série é contínua e é positiva.E quanto a ser decrescente? Vamos analisar o que ocorre com o valor de cada termo da série quando . Perceba que o denominador cresce e o numerador permanece constante. Ou seja, a função é decrescente.
Perceba que o que fizemos é testar se:
Essa última parte é praticamente o Teste da Divergência, ou seja, se percebermos que
então não só não aplicaremos o Teste da Integral, como também já saberemos que a série é divergente.
Passo 3
Para aplicarmos o teste da integral, teremos que resolver a integral imprópria da função . De modo que se a integral divergir é porque a série também diverge. Se a integral convergir a série converge. Simples né?E como calcular uma integral imprópria? Iremos fazer o limite de uma integral definida em que um dos intervalos tende a infinito. Ficou claro né?
Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:
Sendo
Temos:
Temo que por frações parciais:
Multiplicando ambas equações pelo denominador
Simplificando
De modo que temos:
Então:
Devemos agora igualar as potências de
De modo que:
Então temos:
Passo 4
Sabemos que a integral da soma é igual a soma das integrais. Então podemos separar em duas integrais distintas. Teremos então:
Resolvendo a primeira integral temos:
Resolvendo a segunda integral pelo método da substituição
Voltando as variáveis:
Então temos:
Dividindo o numerador e o denominador por na primeira equação teremos um termo do tipo .
Na segunda equação teremos:
Perceba que temos uma convergência para um número fixo? Então a série também é convergente.
Opa! A nossa integral imprópria convergiu para um valor!
Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é convergente!