Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 33
Teste a convergência ou divergência da série:
Passo 1
Olá, pessoal! Tudo bem?
Nesse exercício vamos analisar a convergência da série .
Para isso, vamos usar o Teste de Comparação, que é uma ferramenta útil quando queremos comparar nossa série com outra série que já conhecemos o comportamento.
- Se nossa série é menor que a série convergente, ela também é convergente.
- Se ela é maior que uma série divergente, ela também é divergente.
Temos que:
A série que vamos usar para comparar é:
Primeiro, vamos entender o comportamento da função seno para esta série. Quando , temos . À medida que vai para o infinito, vai para , então também vai para . Ou seja, a função seno não vai oscilar entre e quando .
Passo 2
Desta forma, pelo Teste da Comparação:
Simplificando os termos, ficaríamos com:
Sabemos que quando , . Então, temos:
Passo 3
Opa! Como a série é uma p-série com . Isso significa que se trata de uma série convergente.
Assim, pelo Teste da Comparação, já que e a é convergente, a nossa série também é convergente!
Resposta
A série é convergente.