Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 29
Encontre os valores de para os quais a série é convergente.
Passo 1
Fala, galerinha! Tudo na paz?
Aqui nós vamos precisar de dois conceitos. O primeiro é o do Teste da Integral:
Suponha que seja uma função contínua, positiva e decrescente em e seja . Então a série é convergente se, e somente se, a integral imprópria for convergente. Em outras palavras:
(i) Se for convergente, então é convergente.
(ii) Se for divergente, então é divergente.
Caso não se lembre, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:
O segundo é o da série-p:
Esse é o formato de uma série-p:
A vantagem de termos uma série desse tipo é que para a p-série (ou série-p), basta analisarmos o valor de para entender se há convergência ou divergência. Viu como fica muuuuuito mais fácil?
Para a série-p, temos:
- É convergente se
- É divergente se
Vamos passo a passo aplicar esses conceitos na nossa resolução. Bora lá!
Passo 2
Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral para determinarmos esses valores de que tornam a série convergente?
Em primeiro lugar, vamos associar o termo geral da nossa série com uma função da seguinte forma:
Para isso, vamos calcular a seguinte integral imprópria:
Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a substituição:
e
Substituindo, temos:
Passo 3
Então, pessoal....Poderíamos continuar a fazer todas as contas que ainda faltam, mas vamos ser espertos(as) e pensar um pouco. 
Aquela última integral na qual chegamos é a mesma que usaríamos para testar a convergência de uma p-série, certo?
Logo, já sabemos o critério para a convergência da nossa série original:
Ou seja, como queremos saber para quais valores de a série converge é a mesma coisa de achar os valores de para qual converge. Ou seja, série-p converge para .