Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 31
Encontre os valores de para os quais a série é convergente.
Passo 1
Fala aíí, galera!
Aqui nós estamos trabalhando com o Teste da Integral, que é um método pra verificar a convergência de séries. Primeiro a gente pega o termo geral da série e associa uma função a ele:
E temos que verificar três condições pra ver se esse teste realmente é válido pra essa série: a função precisa ser contínua, positiva e decrescente! Nesse caso, a função é um polinômio elevado a uma constante e multiplicado por .
- Não tem restrição no seu domínio, ela é contínua
- Estamos trabalhando com valores positivos de , então vai ser sempre positiva
- Pra que seja decrescente, vai depender dos valores de , que é justamente o que queremos calcular, então vamos ver isso mais tarde
Agora pra completar o Teste da Integral, vamos fazer a integral da nossa função:
Se a integral convergir, a série converge. Se a integral divergir, a série diverge.
Mas vamos começar vendo essa questão da função precisar ser decrescente!
Passo 2
Vamos avaliar essa condição dada no passo 1. A função precisa ser decrescente, pois se ela for crescente, ela vai explodir pro infinito e naturalmente divergir. Além disso não poderemos usar o teste da integral.
Se , essa função vai crescer muito e tender pro infinito, pois , então não atende nosso critério e vai divergir.
Pra que ela seja decrescente, precisamos que seja negativo. Dessa forma, teremos algo assim:
E quando maior for o , maior o denominador e menor a função! Perfeito, já temos um primeiro intervalo pra :
Agora vamos voltar pra integral!
Passo 3
Como a integral é imprópria (seu limite superior é infinito), podemos trocar o limite superior por uma variável finita e depois fazer o limite dessa variável tendendo ao infinito:
Passo 4
Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a substituição
Substituindo na integral:
E agora vamos integrar:
Retornando pra variável original:
E agora podemos substituir os limites de integração:
Passo 5
Agora lembra que a integral imprópria tinha virado um limite??
Retornando à nossa integral imprópria:
AGORA PRESTA BASTANTE ATENÇÃO NESSA PARTE!!!
A gente quer que a série seja convergente, mas pra isso, a integral precisa ser convergente, ou seja, precisamos encontrar um valor finito pra essa integral. Então a gente vai ter que olhar com bastante atenção pro termo que tem :
Se o expoente for positivo, esse limite vai dar infinito, e tanto a integral quanto a série vão divergir.
Mas se for negativo, então podemos reescrever com o no denominador. Lembra o que acontece com expoentes negativos? Vira uma fração e o expoente fica positivo no denominador:
E aí a gente vai ter 1 dividido por um número gigantesco, então esse limite vai ser zero! CONTINUA PRESTANDO ATENÇÃO E VAMOS VOLTAR PRO LIMITE!
Se :
Nós não sabemos quanto vale esse resultado, mas é uma constante finita. Então dessa forma, a série converge! Então achamos nosso resultado.
Para o limite acima não tender para o infinito, precisamos que o expoente , ou seja, que .
A gente já tinha que tinha que ser negativo, mas não muda em nada aqui, porque ele tem que ser menor que -1.