Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.3 - Ex. 18

Determine se a série é convergente ou divergente.

Passo 1

Fala, galera, Beleza??

Nessa questão vamos determinar se a série:

É convergente ou divergente.

Primeiro verificamos se a função é contínua, positiva e decrescente. Se esses requisitos forem satisfeitos, o teste da integral é uma boa.

Despois vamos olhar pro termo geral da série e associálo a uma função É só trocar o por .

Daí montamos a integral, onde os limites de integração são os limites que estão no somatório:

Como temos “infinito” no limite de integração, então chamamos de integral imprópria. E pra resolver uma integral imprópria chamamos o infinito de alguma variável e calculamos o limite:

Que aí o resultado da integral vai ser uma função e , daí depois calcula o limite pra quando vai pra infinito.

Se esse limite existir, então a integral é convergente e a série também é convergente.

Passo 2

Trocando o por , ficamos com a função:

Como temos uma fração, então o único problema que teria e deixaria a função descontínua seria divisão por zero. Os números que dariam divisão por zero são e , maaaas o somatório só começa em , então não precisamos nos preocupar com esses valores. Poranto, a função é contínua em seu domínio.

Repara que se formos substituindo valores dos somatórios no termo geral:

- pra :

- pra

E por aí vai...

Daí podemos ver que os valores são sempre positivos e são decrescentes.

Então os três requisitos pra usar o teste da integral foram satisfeitos.

Passo 3

Show de bola! Agora calcularemos a seguinte integral imprópria:

Pra resolver uma integral imprópria trocamos o infinito por e fazermos o limite de tendendo a infinito:

Bom, se tentarmos achar as raízes do polinômio no denominador (pensando na alternativa de resolver a integral por frações parciais), perceberemos que tais raízes são complexas (por Bháskara: ).