Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.3 - Ex. 18
Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Fala, galera, Beleza??
Nessa questão vamos determinar se a série:
É convergente ou divergente.
Primeiro verificamos se a função é contínua, positiva e decrescente. Se esses requisitos forem satisfeitos, o teste da integral é uma boa.
Despois vamos olhar pro termo geral da série e associálo a uma função É só trocar o por .
Daí montamos a integral, onde os limites de integração são os limites que estão no somatório:
Como temos “infinito” no limite de integração, então chamamos de integral imprópria. E pra resolver uma integral imprópria chamamos o infinito de alguma variável e calculamos o limite:
Que aí o resultado da integral vai ser uma função e , daí depois calcula o limite pra quando vai pra infinito.
Se esse limite existir, então a integral é convergente e a série também é convergente.
Passo 2
Trocando o por , ficamos com a função:
Como temos uma fração, então o único problema que teria e deixaria a função descontínua seria divisão por zero. Os números que dariam divisão por zero são e , maaaas o somatório só começa em , então não precisamos nos preocupar com esses valores. Poranto, a função é contínua em seu domínio.
Repara que se formos substituindo valores dos somatórios no termo geral:
- pra :
- pra
- pra
- pra
E por aí vai...
Daí podemos ver que os valores são sempre positivos e são decrescentes.
Então os três requisitos pra usar o teste da integral foram satisfeitos.
Passo 3
Show de bola! Agora calcularemos a seguinte integral imprópria:
Pra resolver uma integral imprópria trocamos o infinito por e fazermos o limite de tendendo a infinito:
Bom, se tentarmos achar as raízes do polinômio no denominador (pensando na alternativa de resolver a integral por frações parciais), perceberemos que tais raízes são complexas (por Bháskara: ). 
Então...Chegou a hora do “pulo do gato”:
Passo 4
Vamos olhar para a integral da seguinte forma (vamos imaginar a integral como sendo indefinida, por enquanto):
Para resolvermos essa integral, vamos usar primeiro a substituição :
Lembrando que essa integral já temos tabelada, é a integral do arcotangente:
Voltando pra :
Retornando à nossa integral imprória, temos:
Opa! A nossa integral imprória convergiu para um valor!
Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é convergente!