Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente.

17-

∑ n = 1 ∞ n n 2 + 1

Passo 1

Falaaa... Tudo bem??

Nessa questão vamos determinar se a série:

∑ n = 1 ∞ n n 2 + 1

É convergente ou divergente.

Repara que a gente consegue achar a primitiva do termo geral da série, então o teste da integral é uma boa saída.

Primeiro trocamos o n por x e depois colocamos numa integral:

∫ x x 2 + 1 d x

Os limites de integração são os limites do somatório:

∫ 1 ∞ x x 2 + 1 d x

Como temos “infinito” no limite de integração, então chamamos de integral imprópria. E pra resolver uma integral imprópria chamamos o infinito de alguma variável e calculamos o limite:

∫ 1 ∞ x x 2 + 1 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t x x 2 + 1 d x

Que aí o resultado da integral vai ser uma função e t , daí depois calcula o limite pra quando t vai pra infinito.

Se esse limite existir, então a integral é convergente e a série também é convergente.

Passo 2

Resolvendo a integral ∫ 1 t x x 2 + 1 d x   por substituição:

u = x 2 + 1

d u = 2 x   d x

Isso faz com que o intervalo fique da seguinte maneira:

x = 1 → u = 1 2 + 1 = 2

x = t → u = t 2 + 1

Isso faz com que o intervalo vá de 2 até t 2 + 1 .

Logo a integral fica da seguinte maneira:

∫ 2 t 2 + 1 1 2 u   d u = 1 2 ln ⁡ u 2 t 2 + 1

Aplicando o intervalo temos:

1 2 ln ⁡ t 2 + 1 - ln ⁡ 2 = 1 2 ln ⁡ t 2 + 1 2

Agora só falta calcular o limite desse resultado da integral pra quando t tende a infinito:

lim t → ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ t 2 + 1 2 = ∞

Como o limite deu infinito, ou seja, ele não existe, então a integral é divergente e, consequentemente, a série é divergente.

Resposta

Série divergente.

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