Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.3 - Ex. 17
Determine se a série é convergente ou divergente.
17-
Passo 1
Falaaa... Tudo bem??
Nessa questão vamos determinar se a série:
É convergente ou divergente.
Repara que a gente consegue achar a primitiva do termo geral da série, então o teste da integral é uma boa saída.
Primeiro trocamos o por e depois colocamos numa integral:
Os limites de integração são os limites do somatório:
Como temos “infinito” no limite de integração, então chamamos de integral imprópria. E pra resolver uma integral imprópria chamamos o infinito de alguma variável e calculamos o limite:
Que aí o resultado da integral vai ser uma função e , daí depois calcula o limite pra quando vai pra infinito.
Se esse limite existir, então a integral é convergente e a série também é convergente.
Passo 2
Resolvendo a integral por substituição:
Isso faz com que o intervalo fique da seguinte maneira:
Isso faz com que o intervalo vá de até .
Logo a integral fica da seguinte maneira:
Aplicando o intervalo temos:
Agora só falta calcular o limite desse resultado da integral pra quando tende a infinito:
Como o limite deu infinito, ou seja, ele não existe, então a integral é divergente e, consequentemente, a série é divergente.
Resposta
Série divergente.