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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.3 - Ex. 20

Determine se a série é convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ l n l n   n     n 2

Passo 1

Nesta seção do livro estamos estudando o teste de convergência pelo método da Integral.

O teste da Integral é um teste de consenso.

Meu caro, você deve estar pensando..., mas o que isso significa? Significa que podemos saber se a série converge ou não, sabendo se a integral converge ou não.

A série que temos é a seguinte: ∑ n = 1 ∞ l n l n   n     n 2

Devemos então identificar se a seguinte integral é convergente ou não.

∫ 1 ∞ l n l n   x   x 2   d x

Lembrando que o teste da Integral é válido se a função f ( x ) for contínua, positiva e decrescente (A função não precisa ser decrescente em toda sua existência, mas precisa ser decrescente na sua região final). Precisamos encontrar a região em que essa função decresce. Faremos isso utilizando a derivada dessa função. Em seguida utilizaremos o teste da Integral para descobrir se a série diverge ou não.Tranquilo até aqui? 😎 Vamos colocar a mão na massa então!

Passo 2

Encontraremos a região onde a função cresce ou decresce fazendo a derivada dessa função no domínio de x .Nós teremos:

d d x l n l n   x   x 2

Pela regra do quociente:

d d x l n l n   x   x 2 =   ( l n l n   x ) ' ×     x 2 - ( l n l n   x   ) × ( x 2 ) '   x 2 2 =

= 1 x × x 2 - 2 x l n   x x 4 = 1 - 2 l n l n   x   x 3

A função será decrescente quando sua primeira derivada for negativa, ou seja:

1 - 2 l n l n   x   x 3 < 0

1 - 2 l n l n   x < 0  

1 < 2 l n l n   x  

x > e 1 2 ≈ 1.649

Em suma qualquer n > 2 será decrescente.

E como não existe l n l n   0   , então n começa em 1   e vai até infinito de maneira contínua.

Tal como pode se ver no gráfico da sequência abaixo:

Uma boa prática, é fazer esse procedimento em todas as questões. Mas às vezes já sabemos como a função se comporta sem precisar do teste, então recomendo fazer esse procedimento caso sinta alguma insegurança.

Passo 3

Sabendo que a função é decrescente e contínua e positiva para qualquer valor n > 2 . Então devemos resolver a seguinte integral imprópria. Com os limites de integração de 2 a ∞ .

∫ 2 ∞ l n l n   x   x 2   d x  

Para resolver uma integral imprópria, fazemos:

∫ 2 ∞ l n l n   x   x 2   d x =   ∫ 2 t l n l n   x   x 2   d x  

Fazendo por integração por partes temos:

∫ u   d v = u v - ∫ v d u

Onde escolhemos:

u = l n l n   x     ;     d u = 1 x  

d v = 1 x 2 ; v = - 1 x      

Logo:

  ∫ 2 t l n l n   x   x 2   d x   = l i m t → ∞ - l n l n   x   x 2 t - ∫ 2 t - 1 x 2   d x  

= l i m t → ∞ - l n l n   x   x - 1 x 2 t

Passo 4

Aplicando o intervalo nós temos:

- l n l n   t   t - 1 t   - l n l n   2   2 - 1 2  

Aplicando L’Hopital em l n l n   t   t temos:

( l n l n   t   ) ' t ' = 1 t

Então:

- l n l n   t   t   = - 1 t   = 0

O que deixa nosso intervalo como:

- 0 - 0 - l n l n   2   2 - 1 2 = l n ⁡ 2 2 + 1 2

Logo a série converge. Uma vez que a integral converge para um número finito.

Resposta

Série convergente.

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