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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.3 - Ex. 54

Use o teste de condensação de Cauchy do Exercício 53 para mostrar que

  1. ∑ n = 2 ∞ 1 n ⋅ ln ⁡ n diverge;
  2. ∑ n = 1 ∞ 1 n p converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1 .

Passo 1

EAEEEE PESSOAL, bora aplicar nosso teste de Cauchy que acabamos de demonstrar no exercício anterior vem.

  1. Começamos escrevendo a nossa função para o primeiro formato do teste:

    2. a 2 n = 1 2 n ⋅ ln ⁡ 2 n = 1 2 n ⋅ n ⋅ ln ⁡ 2

    Então pela 2º parte do teste:

    ⇒ ∑ n = 2 ∞ 2 n a 2 n = ∑ n = 2 ∞ 2 n ⋅ 1 2 n ⋅ n ln ⁡ 2 = 1 ln ⁡ 2 ∑ n = 2 ∞ 1 n  

    Essa soma diverge, portanto, ∑ n = 2 ∞ 1 n ⋅ ln ⁡ n também diverge.

    Passo 2

  2. Vamos escrever a primeira parte do teste:

a 2 n = 1 2 n p

⇒ ∑ n = 1 ∞ 2 n a 2 n = ∑ n = 1 ∞ 2 n ⋅ 1 2 n p = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n p - 1

∴ ∑ n = 1 ∞ 1 2 p - 1 n , converge para 1 se p for maior que 1 e diverge se p for menor ou igual a 1.

Resposta

Demonstração

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