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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.3 - Ex. 59

a. Para a série ∑ 1 n 3 ,use as desigualdades na Equação 2 com n = 10 para encontrar um intervalo contendo a soma S.

b. Como no Exemplo 5, use o ponto médio do intervalo encontrado no item (a) para aproximar a soma da série. Qual é o erro máximo para sua aproximação?

Passo 1

  1. Fala galera, para quem não se lembra a equação 2 é dada por:

    2. s n + ∫ n + 1 ∞ f x d x ≤ S ≤ s n + ∫ n ∞ f x d x

    Vamos começar determinando a soma parcial para 10 termos, s 10 .

    ∑ n = 1 10 1 n 3 = 1 1 3 + 1 2 3 + 1 3 3 + … + 1 10 3 = 1,9753

    Passo 2

    Agora devemos determinar os limites das integrais:

    lim b → ∞ ⁡ ∫ 10 + 1 b x - 3 d x = l i m b → ∞ - x - 2 2 11 b = 1 242

    lim b → ∞ ⁡ ∫ 10 b x - 3 d x = l i m b → ∞ - x - 2 2 10 b = 1 240

    Substituindo todos os termos na desigualdade:

    1,9753 + 1 242 ≤ S ≤ 1,9753 + 1 240

    1,2017 < S < 1,2025

    Passo 3

  2. Vamos encontrar o ponto médio entre os polos:

S = 1,2017 + 1,2025 2 = 1,2021

E o erro máximo é a metade da diferença entre os dois polos:

e r r o ≤ 1,2017 - 1,2025 2 = 0,000435

Resposta

  1. 1,2017 < S < 1,2025
  2. e r r o ≤ 0,000435

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