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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.3 - Ex. 55

Série p logarítmica

  1. Mostre que a integral imprópria

    2. ∫ 2 ∞ d x x ln ⁡ x p (sendo p uma constante positiva) converge se, e somente se, p > 1 .

  2. Qual implicação o fato do item (a) tem sobre a convergência da série

∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n p   ?

Justifique sua resposta.

Passo 1

EAEEEE PESSOAL, vamos resolver a integral e descobrir seu limite para ver como a alteração da constante p, faz a integral ser convergente e divergente.

  1. Essa é uma integral de substituição, u = ln ⁡ x ⇒ d x = x d u :

    2. ∫ 2 ∞ d x x ln ⁡ x p = ∫ ln ⁡ 2 ∞ u - p d u = lim b → ∞ ⁡ u - p + 1 - p + 1 ln ⁡ 2 b = lim b → ∞ ⁡ 1 1 - p b - p + 1 - ln ⁡ 2 - p + 1

    = 1 p - 1 ln ⁡ 2 - p + 1 ,   s e   p > 1 ∞ ,   p ≤ 1 ⇒ a integral converge se p for maior do que 1 e diverge se p for menor do que 1.

    Passo 2

  2. Bom pessoal, a integral ela pode ser convergente ou divergente a depender da constante positiva p, dessa maneira, o somatório ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n p converge se, e somente se p > 1 .

Resposta

Demonstração

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3-8. Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.4. ∑ n = 1 ∞ 1 n 5
Euler também descobriu a soma da série p com p = 4 : ζ 4 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 = π 4 90 Use o resultado de Euler para encontrar a soma da série.b) ∑ k = 5 ∞ 1 k - 2 4
9-26. Determine se a série é convergente ou divergente.18. ∑ n = 3 ∞ 3 n - 4 n 2 - 2 n
3-8. Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.7. ∑ n = 1 ∞ n n 2 + 1
9-26. Determine se a série é convergente ou divergente.25. ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n ³ ³