Se usarmos, para esse caso que
x = e^(lambda t) -> overset(˙)(x) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(x) = lambda^2 e^(lambda t)
, assim:
overset(¨)(x) + 2 overset(˙)(x) + 5 x = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) + 2 lambda e^(lambda t) + 5 e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 + 2 lambda + 5) = 0
e^(lambda t) (lambda^2 + 2 lambda + 5) = 0 -> lambda^2 + 2 lambda + 5 = 0
Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:
lambda^' e lambda " = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)
Para o caso dado só temos
a = 1 , b = 2 e c = 5
, assim:
lambda^' e lambda " = (- 2 +- sqrt(2^2 - 4 (1) (5)))/(2 (1)) = - 1 +- (sqrt(- 16))/(2)
Passo 2
Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que
i^2 = - 1
:
- 1 +- (sqrt(16 i^2))/(2) = - 1 +- (sqrt(( 4 i )^2))/(2) = - 1 +- (4)/(2) i = - 1 +- 2 i
Passo 3
Identificados os valores de
lambda
, podemos Agora reescrever o
x
pelo teorema que diz que se temos duas raízes
lambda_1 e lambda_2
da equação característica (ou seja, a função
lambda^2 + b lambda + c = 0
), então se
lambda_1 e lambda_2
são números complexos podemos afirmar que:
x (t) = e^(alpha t) [A cos beta t + B sin beta t] (A , B ϵ R)
Lembrando que:
lambda = alpha +- beta i
Para o nosso caso:
alpha = - 1 e beta = 2
Assim, substituindo os valores de
alpha e beta :
x (t) = e^(- 1 t) [A cos 2 t + B sin 2 t]