Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 17.2 - Ex. 11

Faça o gráfico da solução particular e de várias outras soluções. Que características essas soluções têm em comum?

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea e a parte particular :

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea. A equação diferencial homogênea associada é:

E supor uma solução do tipo:

O processo para determinar é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

Agora vamos substituir na equação diferencial:

Dividindo essa equação por temos:

Para resolver essa equação vou usar a fórmula de Bháskara:

Aqui temos duas raízes reais e distintas, então a solução complementar vai ser uma combinação linear de duas exponenciais:

Passo 3

A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função é , e não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser uma função exponencial:

Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?

As derivadas vão ser:

Resgatando a equação diferencial integral temos:

Agora substituindo e na equação diferencial temos:

Reorganizando os termos temos:

Assim:

E a solução particular é:

Passo 4

Show! Agora é só juntar todos os resultados! Do passo temos a solução e do passo temos . Vai lá ao passo e pega a solução geral:

Substituindo os resultados teremos:

Agora vamos ver um gráfico de várias soluções, mudando os coeficientes:

As soluções são compostas por curvas do tipo exponenciais e, com exceção da solução particular que se aproxima de quando , todas elas tendem a ou quando .