Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 34
Equações de Euler. Uma equação da forma
em que e são constantes reais, é chamada de equação de Euler.
- Seja e calcule e em termos de e .
- Use os resultados do item (a) para transformar a Eq. (ii) em
Note que a Eq. (iii) tem coeficientes constantes. Se e formarem um conjunto fundamental de soluções da Eq. (iii), então e formarão um conjunto fundamental de soluções da Eq. (ii).
Passo 1
Para resolvermos, vamos aplicar a regra da cadeia para transformarmos de para , na qual
e após isso iremos manipular nossa expressão até chegarmos no pedido no segundo item.
Passo 2
- Bom, vamos lá! Como já dito no passo 1, vamos começar aplicando a regra da cadeia. Temos que , assim, se calcularmos nosso vamos chegar que nossa primeira derivada ficará:
- Toda nossa equação, substituindo agora nosso , será
Nossa segunda derivada, seguindo a mesma ideia porém agora com a regra do produto também, será
Como nossas funções são de segunda ordem, temos que
Substituindo então, teremos que:
Passo 3
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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