Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.

Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea. A equação diferencial homogênea associada é:

E supor uma solução do tipo:

O processo para determinar é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

Agora vamos substituir na equação diferencial:

Dividindo essa equação por temos:

Aqui temos duas raízes reais e diferentes, então a solução vai ser:

Agora vamos encontrar a solução particular.

A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função é , e não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser uma exponencial vezes uma combinação de seno e cosseno:

Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?

As derivadas vão ser:

E a segunda derivada fica

Agora substituindo e na equação diferencial temos:

De cara podemos cortar os

Assim temos um sistema:

Daqui tiramos os valores de e

E:

E a solução particular é:

Show! Agora é só juntar todos os resultados! Do passo temos a solução e do passo temos . Vai lá ao passo e pega a solução geral:

Substituindo os resultados teremos:

Beleza! Agora é só aplicar as condições iniciais para determinar as constantes e . As condições iniciais são:

A primeira é sobre a solução, então fazendo em temos:

A segunda condição é sobre a derivada. Então é:

E aplicando em temos:

Substituindo temos:

E também:

Show! Finalmente temos a solução: