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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.1 - Ex. 4

Calcule underset((h , k) -> (0,0))(l i m) ((f (x + h , y + k) - f (x , y) - 2 x h - k))/(‖(h , k)‖) , onde f (x , y) = x^2 + y^2

Passo 1

Vamos aplicar a definição,

underset((h , k) -> (0,0))(l i m) ((f (x + h , y + k) - f (x , y) - 2 x h - k))/(‖(h , k)‖) = underset((h , k) -> (0,0))(l i m) (((x + h)^2 + (y + k) - (x^2 + y) - 2 x h - k))/((k^2 + h^2)^((1)/(2)))

Abrindo as contas

underset((h , k) -> (0,0))(l i m) (((x + h)^2 + (y + k) - (x^2 + y) - 2 x h - k))/((k^2 + h^2)^((1)/(2))) = underset((h , k) -> (0,0))(l i m) ((x^2 + 2 x h + h^2 + (y + k) - x^2 - y - 2 x h - k))/((k^2 + h^2)^((1)/(2)))

Cancelando os termos com sinal trocado

underset((h , k) -> (0,0))(l i m) ((x^2 + 2 x h + h^2 + (y + k) - x^2 - y - 2 x h - k))/((k^2 + h^2)^((1)/(2))) = underset((h , k) -> (0,0))(l i m) (h^2)/((k^2 + h^2)^((1)/(2)))

Pela questão 1 c ) ,

underset((h , k) -> (0,0))(l i m) (h^2)/((k^2 + h^2)^((1)/(2))) = 0

Resposta

underset((h , k) -> (0,0))(l i m) ((f (x + h , y + k) - f (x , y) - 2 x h - k))/(‖(h , k)‖) = 0

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Represente graficamente e o domínio da função z = f x , y dada por a) f x ,y ,z =1 - x 2 - y 2 - z 2
Represente graficamente e o domínio da função z = f x , y dada por c) f x , y , z = 1 - x - y - z,x ≥ 0 , y ≥ 0,z ≥ 0
Desenhe a superfície de nível correspondente a c = 1 a) f x , y ,z = x 2 + 4 y 2 + z 2
Desenhe a superfície de nível correspondente a c = 1 c) f x , y ,z = x 2 + y 2
Desenhe a superfície de nível correspondente a c = 1 a) f (x , y , z) = x