Calcule lim(h, k) → (0, 0) de [ f(x + h, y + k) - f(x, y) - 2xh - k ] / ‖(h, k)‖ , onde f(x, y) = x^2 + y^2

Passo 1

Vamos aplicar a definição,

underset((h , k) -> (0,0))(l i m) ((f (x + h , y + k) - f (x , y) - 2 x h - k))/(‖(h , k)‖) = underset((h , k) -> (0,0))(l i m) (((x + h)^2 + (y + k) - (x^2 + y) - 2 x h - k))/((k^2 + h^2)^((1)/(2)))

Abrindo as contas

underset((h , k) -> (0,0))(l i m) (((x + h)^2 + (y + k) - (x^2 + y) - 2 x h - k))/((k^2 + h^2)^((1)/(2))) = underset((h , k) -> (0,0))(l i m) ((x^2 + 2 x h + h^2 + (y + k) - x^2 - y - 2 x h - k))/((k^2 + h^2)^((1)/(2)))

Cancelando os termos com sinal trocado

underset((h , k) -> (0,0))(l i m) ((x^2 + 2 x h + h^2 + (y + k) - x^2 - y - 2 x h - k))/((k^2 + h^2)^((1)/(2))) = underset((h , k) -> (0,0))(l i m) (h^2)/((k^2 + h^2)^((1)/(2)))

Pela questão 1 c ) ,

underset((h , k) -> (0,0))(l i m) (h^2)/((k^2 + h^2)^((1)/(2))) = 0

Resposta

underset((h , k) -> (0,0))(l i m) ((f (x + h , y + k) - f (x , y) - 2 x h - k))/(‖(h , k)‖) = 0

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