Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.3 - Ex. 11 c
Um campo de forças , onde são funções definidas num aberto Se for conservativo então existirá uma função escalar definida em tal que em Uma tal função denomina-se função energia potencial associada ao campo . Determine, caso exista, a função energia potencial associada ao compo dado e satisfazendo a condição dada.
c) e
Passo 1
Eita, man! Lascou-se foi tudo! É mentiraaaaaaaaaa!(leia com voz de quadrilha junina... É que eu amo o São João e já estou no clima mesmo em setembro). Mas vamos ao que interessa.
A questão nos diz que o campo é conservativo se podemos encontrar uma função tal que seu gradiente coincide com as componentes e do campo dado. Em outras palavras, precisamos encontrar uma função tal que
Mas se ligue que isso corresponde à fazer uma continhas que já fizemos que dizia assim: Verifique se existe uma função definida no que satisfaz: e e em caso positivo, encontre-a. Aí a gente fazia uma continha para verificar se era possível. Se alembra qualé ?
A gente fazia a seguinte coisa:
e
Se então a função existia.
E ai, depois a gente calculava a integral da derivada com respeito a ou a , calculava as constantes e achava a função. A ideia aqui é a mesma. Não perde isso de vista, minino!
Vamos pás conta!
Passo 2
Pela definição do campo que nos foi dado, temos que:
Seguindo a ideia que vimos no passo anterior,
Vamos verificar se U existe.
Pode preparar o quentão que o campo existe.
Vamos achar essa merda então hahaha!
Passo 3
Usando o teorema fundamental do cálculo,
Precisamos fazer uma substituição pra resolver a integral, ou seja, chamaremos , temos que
Vamos achar a constante que depende de agora. Fazendo,
Logo, a função que desejamos tem a cara
Vamos usar o dado para descobrir o valor de .
Logo,