Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.2 - Ex. 35.b
Determine todas as funções possíveis com a derivada .
Passo 1
Queremos saber todas as funções cuja derivada é , para isso aplicaremos o raciocínio inverso ao da derivada, aplicando as regras de derivação da maneira inversa e utilizaremos a propriedade que diz que a derivada da soma é a soma das derivadas.
Passo 2
Podemos reescrever como sendo para ficar mais simples de trabalhar utilizando regras de derivação tranquilas. Se lembrarmos da derivação de polinômios temos que se , então, no nosso caso, pegando a função que nos foi dada no enunciado percebemos que para sua derivada resultar em é porque antes de derivarmos ela tinha expoente 1 para o número 1 e expoente -1 para .
Passo 3
Dessa forma, a nossa função inicial tinha uma aparência do tipo . No entanto, como o enunciado quer todas as funções cuja derivada resulta em , devemos lembrar que constantes tem derivada igual a zero e que ao acrescentarmos uma constante diferente a nossa obtemos uma função diferente, logo, para generalizarmos e conseguirmos todas as funções cuja derivada é , tomemos , sendo C uma constante numérica.