Mostre que função r( theta ) = θ + sen²(θ / 3) - 8 , tem exatamente uma raíz no interior do intervalo (- , infinito ).

Passo 1

Queremos provar que no intervalo dado existe apenas uma raiz para a função r ( θ ) . Para isso, analisaremos a derivada da nossa função de tal forma que se ela não for igual a 0 no intervalo dado e conseguirmos encontrar 2 valores para r ( θ ) de tal forma que um seja maior e o outro seja menor que 0, além disso, a nossa função estar crescendo no intervalo, conseguiremos provar que existe apenas uma raiz no intervalo em análise.

Passo 2

Primeiramente vamos derivar a nossa função r θ = θ + s e n 2 θ 3 - 8 :

r ' θ = 1 + 2 3   s e n θ 3 * c o s ⁡ ( θ 3 )

Lembrando a seguinte relação trigonométrica: s e n   2 a = 2 s e n a * cos ⁡ a , podemos escrever r ' θ da seguinte forma:

r ' θ = 1 + 1 3   s e n 2 θ 3

Passo 3

Analisando r ' no intervalo dado percebemos que essa função é sempre maior do que 0 no intervalo dado, devido ao deslocamento da função seno por conta do 1 somando ali. Sendo assim, a derivada da função sendo maior que 0 no intervalo implica que a nossa função está crescendo nesse intervalo.

Passo 4

Por fim, resta- nos encontrar valores para os quais a função seja positiva e negativa, de tal forma que conseguiremos mostrar que existe uma raiz entre esses valores garantido pelo teorema do valor médio. Tomemos, por exemplo, os valores θ = 0   e   θ = 8 .

Para o primeiro valor temos:

r 0 = 0 + s e n 2 0 3 - 8

r 0 = s e n 2 0 3 - 8

r 0 = - 8 < 0

Para o segundo valor temos:

r 8 = 8 + s e n 2 8 3 - 8

r 8 = s e n 2 8 3 > 0

∴ e x i s t e   a p e n a s   u m a   r a í z   d e n t r o   d e s s e   i n t e r v a l o .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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