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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.2 - Ex. 26

Mostre que função r( θ ) = 2 θ - cos 2 ⁡ θ + 2   , tem exatamente uma raiz no interior do intervalo (- ∞ , ∞ ).

Passo 1

Queremos provar que no intervalo dado existe apenas uma raiz para a função r ( θ ) . Para isso, analisaremos a derivada da nossa função de tal forma que se ela não for igual a 0 no intervalo dado e conseguirmos encontrar 2 valores para r ( θ ) de tal forma que um seja maior e o outro seja menor que 0, além disso, a nossa função estar crescendo no intervalo, conseguiremos provar que existe apenas uma raiz no intervalo em análise.

Passo 2

Primeiramente vamos derivar a nossa função r θ = 2 θ - cos 2 ⁡ ( θ ) + 2 :

r ' θ = 2 - 2 cos ⁡ θ * ( - s e n θ )

r ' θ = 2 + 2 cos ⁡ θ * s e n θ

Lembrando a seguinte relação trigonométrica: s e n   2 a = 2 s e n a * cos ⁡ a , podemos escrever r ' θ da seguinte forma:

r ' θ = 2 + 2 s e n 2 θ

Passo 3

No intervalo dado, percebemos que r ' é sempre maior do que 0, devido ao deslocamento vertical da função seno dado pelo +2 somando ali no início. Sendo assim, a derivada da função sendo maior que 0 no intervalo implica que a nossa função está crescendo nesse intervalo.

Passo 4

Por fim, resta- nos encontrar um valor para o qual a função seja positiva e um para que ela seja negativa, de tal forma que conseguiremos mostrar que existe uma raiz entre esses valores garantido pelo teorema do valor médio. Tomemos, por exemplo, os valores θ = - 2 π   e   θ = 2 π .

Para o primeiro valor, temos:

r - 2 π = - 2 * 2 π - cos 2 ⁡ ( - 2 π ) + 2

r - 2 π = - 4 π - 1 2 + 2

r - 2 π = - 4 π - 1 + 2 < 0

Para o segundo valor, temos:

r 2 π = 2 * 2 π - cos 2 ⁡ ( 2 π ) + 2

r 2 π = 4 π - 1 2 + 2

r 2 π = 4 π - 1 + 2 > 0

∴ e x i s t e   a p e n a s   u m a   r a í z   d e n t r o   d e s s e   i n t e r v a l o .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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