Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.2 - Ex. 26

Mostre que função r() = , tem exatamente uma raiz no interior do intervalo (-,).

Passo 1

Queremos provar que no intervalo dado existe apenas uma raiz para a função . Para isso, analisaremos a derivada da nossa função de tal forma que se ela não for igual a 0 no intervalo dado e conseguirmos encontrar 2 valores para de tal forma que um seja maior e o outro seja menor que 0, além disso, a nossa função estar crescendo no intervalo, conseguiremos provar que existe apenas uma raiz no intervalo em análise.

Passo 2

Primeiramente vamos derivar a nossa função :

Lembrando a seguinte relação trigonométrica: , podemos escrever da seguinte forma:

Passo 3

No intervalo dado, percebemos que é sempre maior do que 0, devido ao deslocamento vertical da função seno dado pelo +2 somando ali no início. Sendo assim, a derivada da função sendo maior que 0 no intervalo implica que a nossa função está crescendo nesse intervalo.

Passo 4

Por fim, resta- nos encontrar um valor para o qual a função seja positiva e um para que ela seja negativa, de tal forma que conseguiremos mostrar que existe uma raiz entre esses valores garantido pelo teorema do valor médio. Tomemos, por exemplo, os valores .