Suponhamos que a derivada da função y = f ( x ) seja y ' = x - 1 2 ( x - 2 ) ( x - 4 ) .Em que pontos, se houver, o gráfico de f apresenta um mínimo local, um máximo local, ou um ponto de inflexão?

Ponto mínimo: x = 4 .Ponto máximo: x = 2 Pontos de inflexão: x = 1 , x = 5 + 3 2ex = 5 - 3 2 .

Enunciado

A função apresenta mínimos ou máximos locais quando a derivada primeira é zero, são os pontos críticos:

A partir dos pontos críticos, se a derivada segunda for negativa temos um ponto de máximo, e se for positiva, temos um ponto de mínimo.

Vamos calcular a derivada segunda então...

Substituindo os valores nessa função então, temos:

Sobre ainda não podemos afirmar nada pois foi nula. Mas já sabemos que temos um máximo local em e um mínimo local em .

Os pontos de inflexão são quando a derivada segunda é zero. Nossa é:

Resolvendo a equação do segundo grau, temos: .

Esses são nossos pontos de inflexão.

Vamos então fazer a tabela de sinais de e para definir os intervalos de crescimento e o tipo de concavidade:

E assim, comprovamos os pontos encontrados anteriormente.

Ponto mínimo: .

Ponto máximo:

Pontos de inflexão: .