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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.2 - Ex. 36.c

Determine todas as funções possíveis com a derivada y ' =   4 x - 1 x .

Passo 1

Queremos saber todas as funções cuja derivada é 4 x - 1 x , para isso aplicaremos o raciocínio inverso ao da derivada, aplicando as regras de derivação da maneira inversa e utilizaremos o fato que a derivada da soma é a soma das derivadas.

Passo 2

Podemos reescrever y ' como sendo y ' = 4 x - x - 1 2   para ficar mais simples de trabalhar utilizando regras de derivação mais tranquilas. Se lembrarmos da derivação de polinômios temos que se f x = x n → f ' x = n * x n - 1 , então, no nosso caso, pegando a função que nos foi dada no enunciado percebemos que para sua derivada resultar em 4 x - x - 1 2   é porque antes de derivarmos ela tinha expoente 2 no 4x e expoente 1 2   em x - 1   .

Passo 3

Dessa forma, a nossa função inicial tinha uma aparência do tipo f x = 2 x 2 - 2 x . No entanto, como o enunciado quer todas as funções cuja derivada resulta em 4 x - 1 x , devemos lembrar que constantes tem derivada igual a zero e que ao acrescentarmos uma constante diferente a nossa f ( x ) obtemos uma função diferente, logo, para generalizarmos e conseguirmos todas as funções cuja derivada é 4 x - 1 x , , tomemos f x = 2 x 2 - 2 x + C , sendo C uma constante numérica.

Resposta

∴ f x = 2 x 2 - 2 x + C

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