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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 22

Calcule as integrais. Talvez seja necessário fazer substituição primeiro.

Passo 1

Perceba que não vamos precisar utilizar nenhuma substituição.

Então, podemos aplicar as frações parciais para resolver a integral. Como o grau do polinômio do denominador é menor que o do numerador, que tem grau zero, primeiro, vamos realizar uma divisão de polinômios,

Ou seja,

x 3 + 4 x 2 ÷     x 2 + 4 x + 3 =     x     x 2 + 4 x + 3 +     3 x

Substituindo,

∫ x 3 + 4 x 2 x 2 + 4 x + 3   d x   = ∫       x     x 2 + 4 x + 3 +     3 x x 2 + 4 x + 3   =   ∫   x + 3 x x 2 + 4 x + 3 d x

= ∫   x   d x + ∫   3 x x 2 + 4 x + 3   d x

Passo 2

Resolvendo as integrais

  • ∫   x   d x = x 2 2

  • ∫     3 x x 2 + 4 x + 3   d x

Para resolver esta integral, precisaremos usar frações parciais, já que temos uma divisão de polinômios, na qual o numerador tem grau menor que o denominador. Então, primeiro, vamos decompor o denominador da fração.

x 2 + 4 x + 3 = ( x + 1   ) ( x + 3 )

Então,

3 x x 2 + 4 x + 3   = 3 x = ( x + 1   ) ( x + 3 )   =     A x + 1   + B x + 3  

Calculando o mmc, ficamos com

3 x x + 1   ) ( x + 3 ) =     A   x + 3   + B ( x - 2   )   ( x + 1   ) ( x + 3 )    

Como os denominadores são iguais,

A   x + 3   + B ( x - 2   ) = 2 x  

Juntando os coeficientes de mesmo grau,

x A + B + 3 A - 2 B =   2 x

Igualando os coeficientes do polinômio, temos que

A + B = 0   - 3 A - 2 B = 2

Resolvendo o sistema, temos que

A = - 2   e B = 2

Sendo assim,

∫   3 x x 2 + 4 x + 3   d x = ∫ - 2 x + 1   d x   + ∫ 2 x + 3     d x = - 2 ln ⁡ x + 1 + 2 ln ⁡ x + 3  

Passo 3

Substituindo na primeira integral,

∫ x 3 + 4 x 2 x 2 + 4 x + 3   d x   = ∫   x   d x + ∫   3 x x 2 + 4 x + 3   =   x 2 2 +   - 2 ln ⁡ x + 1 + 2 ln ⁡ x + 3 + C      

Resposta

∫ x 3 + 4 x 2 x 2 + 4 x + 3   d x   =   x 2 2 + - 2 ln ⁡ x + 1 + 2 ln ⁡ x + 3 + C    

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