Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.2 - Ex. 37
Determine todas as funções possíveis com as derivadas dadas: a)
b)
c)
Passo 1
Desejamos encontrar o conjunto de todas as funções cuja derivada seja ou a soma das duas funções ( a depender da alternativa). Dessa forma, alguns conceitos devem estar claros na nossa mente:
- O primeiro deles é a regra da cadeia que diz que dada uma função composta se quisermos deriva-la vamos precisar fazer ;
- Utilizaremos o corolário que vem como consequência do teorema do valor médio que diz que se encontrarmos uma função tal que para todo valor de x em um intervalo, então, existe uma constante C tal que ;
- Por fim, utilizaremos o fato da derivada da soma ser a soma das derivadas;
Passo 2
(Letra A)
Tomemos uma função podemos verificar que a derivada dessa função é igual a derivada , mas essa função não surgiu do nada, para que ela aparecesse o seguinte raciocínio foi usado: primeiramente pensemos em uma função cuja derivada seja , essa função é tendo em vista que a derivada de . Agora, pensando na função o natural seria pensar que a função de origem é , porém, pela regra da cadeia sabemos que isso não é verdade pois a derivada de daí a origem do 2 dividindo todo mundo na nossa
Passo 3
Aplicando o nosso corolário, temos o seguinte:
Devemos nos recordar, agora, que constantes tem derivada igual a zero e que ao acrescentarmos uma constante diferente a nossa obtemos uma função diferente, logo, a função que obtemos a partir desse resultado é a mais geral e capaz de gerar todas as funções cuja derivada é .
Passo 4
(Letra B)
Tomemos uma função podemos verificar que a derivada dessa função é igual a derivada , mas essa função não surgiu do nada, para que ela aparecesse o seguinte raciocínio foi usado: primeiramente pensemos em uma função cuja derivada seja , essa função é tendo em vista que a derivada de . Agora, pensando na função o natural seria pensar que a função de origem é , porém, pela regra da cadeia sabemos que isso não é verdade pois a derivada de daí a origem do 2 multiplicando todo mundo na nossa
Passo 5
Aplicando o nosso corolário, temos o seguinte:
Devemos nos recordar, agora, que constantes tem derivada igual a zero e que ao acrescentarmos uma constante diferente a nossa obtemos uma função diferente, logo, a função que obtemos a partir desse resultado é a mais geral e capaz de gerar todas as funções cuja derivada é .
Passo 6
(Letra C)
Utilizando os dados obtidos nas letras a e b, utilizaremos a propriedade das derivadas que diz que a derivada da soma é a soma das derivadas , como a função da letra C é apenas a soma das derivadas das alternativas anteriores, sei resultado é a soma das outras duas alternativas também.