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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.3 - Ex. 62

Determine todos os pontos x , y no gráfico de g x = 1 3 x 3 - 3 2 x 2 + 1 com tangentes paralelas à reta 8 x - 2 y = 1 .

Passo 1

Uma reta é paralela a outra quando as retas possuem o mesmo coeficiente angular. Como o exercício pede as tangentes de g x paralelas a y , precisamos encontrar a derivada da curva f x :

m = 1 3 x 3 - 3 2 x 2 + 1 '

m = 1 3 ∙ 3 x 3 - 1 - 3 2 ∙ 2 x 2 - 1 + 0

m = x 2 - 3 x

Passo 2

Como os coeficientes angulares devem ser iguais precisamos encontrar o coeficiente angular da reta:

8 x - 2 y = 1

- 2 y = - 8 x + 1

y = - 8 x + 1 - 2

y = 4 x - 1 2

Depois vamos igualar os coeficientes:

x 2 - 3 x = 4

x 2 - 3 x - 4 = 0

Agora precisamos encontrar os valores de x , para isso vamos lembrar como resolvemos uma função de 2° grau:

x = b ± b 2 - 4 a c 2 a

onde,

a x 2 + b x + c = 0

Logo,

x = - 3 ± - 3 2 - 4 ∙ 1 ∙ ( - 4 ) 2 ∙ 1

x = - 3 ± 9 + 16 2

x = - 3 ± 25 2

x = - 3 ± 5 2

Assim,

x 1 = - 4 e x 2 = 1

Portanto, uma das tangentes que é paralela a y passa por x = - 4 e a outra passa por x = 1 . Agora precisamos encontrar os valores da coordenadas.

f - 4 = 1 3 - 4 3 - 3 2 - 4 2 + 1

f - 4 = 1 3 - 64 - 3 2 ∙ 16 + 1

f - 4 = - 64 3 + - 48 2 + 1

f - 4 = - 128 - 144 + 6 6 = - 266 6 = - 133 3

f 1 = 1 3 1 3 - 3 2 1 2 + 1

f 1 = 1 3 - 3 2 + 1

f 1 = 2 - 9 + 6 6 = - 1 6

Fim!!!

Resposta

- 4 , - 133 3 ; 1 , - 1 6

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