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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 1g

Calcule, pela definição, a derivada da função dada, no ponto dado.

y = cos ⁡ x 2 em p = 0

Passo 1

A derivada de f x = y em p pode ser calculada pelo limite:

f ' p = lim h → 0 ⁡ f h + p - f p h

Então:

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h + 0 2 - cos ⁡ x 2 h

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h 2 - 1 h

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h 2 - 1 h ⋅ cos ⁡ h 2 + 1 cos ⁡ h 2 + 1

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ cos 2 ⁡ h 2 - 1 h cos ⁡ h 2 + 1

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ sen 2 ⁡ h 2 h cos ⁡ h 2 + 1 ⋅ h h

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ sen 2 ⁡ h 2 h 2 cos ⁡ h 2 + 1 ⋅ h

Passo 2

Como o limite do produto é igual ao produto dos limites temos:

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ sen 2 ⁡ h 2 h 2 ⋅ lim h → 0 ⁡ 1 cos ⁡ h 2 + 1

Para lim h → 0 ⁡ sen 2 ⁡ h 2 h 2 temos que aplicar uma substituição u = h 2 de modo que:

lim h → 0 ⁡ sen 2 ⁡ h 2 h 2 = lim h → 0 ⁡ sen 2 ⁡ u u = lim h → 0 ⁡ u ⋅ sen ⁡ u u = 0 ⋅ 1 = 0

E para lim h → 0 ⁡ 1 cos ⁡ h 2 + 1 :

lim h → 0 ⁡ 1 cos ⁡ h 2 + 1 = 1 1 + 1 = 1 2

Logo:

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ sen 2 ⁡ h 2 h 2 ⋅ lim h → 0 ⁡ 1 cos ⁡ h 2 + 1 = 0 ⋅ 1 2 = 0

f ' 0 = 0

Resposta

f ' 0 = 0

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