Enunciado

Calcule, pela definição, a derivada da função dada, no ponto dado.

g x = x 3 / 2 sen ⁡ 1 x 2     s e   x ≠ 0     0                                     s e   x = 0 em p = 0

Passo 1

A derivada de g em p pode ser calculada pelo limite:

g ' p = lim h → 0 ⁡ g h + p - g x h

Então:

g ' 0 = lim h → 0 ⁡ h + 0 3 / 2 sen ⁡ 1 h + 0 2 - 0 h

g ' 0 = lim h → 0 ⁡ h 3 / 2 sen ⁡ 1 h 2 h

g ' 0 = lim h → 0 ⁡ h 3 2 - 1 ⋅ sen ⁡ 1 h 2

g ' 0 = lim h → 0 ⁡ h 1 2 ⋅ sen ⁡ 1 h 2

g ' 0 = lim h → 0 ⁡ h 1 2 ⋅ sen ⁡ 1 h 2

Passo 2

Quando temos o limite do produto de uma função que vai pra zero com uma função limitada, esse limite vai pra zero.

Como o seno de qualquer número está entre 1 e - 1 , a função sen ⁡ 1 h 2 é limitada. E como lim h → 0 ⁡ h 1 2 = 0 , temos que:

g ' 0 = lim h → 0 ⁡ h 1 2 ⋅ sen ⁡ 1 h 2 = 0

g ' 0 = 0

Resposta

g ' 0 = 0

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