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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 1i

Calcule, pela definição, a derivada da função dada, no ponto dado.

y = x x em p = 1 (Sugestão. Veja Exemplo 3 - 6.3 . )

Passo 1

A derivada de f x = y em p pode ser calculada pelo limite:

f ' p = lim h → 0 ⁡ f h + p - f p h

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ h + 1 h + 1 - f p h

Se temos que x x = e x  ln ⁡ x ,

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ e h + 1 ln ⁡ h + 1 - 1 h

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ e h + 1 ln ⁡ h + 1 - 1 h ⋅ h + 1 ln ⁡ h + 1 h + 1 ln ⁡ h + 1

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ e h + 1 ln ⁡ h + 1 - 1 h + 1 ln ⁡ h + 1 ⋅ h + 1 ln ⁡ h + 1 h

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ e h + 1 ln ⁡ h + 1 - 1 h + 1 ln ⁡ h + 1 ⋅ 1 + 1 h ln ⁡ h + 1

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ e h + 1 ln ⁡ h + 1 - 1 h + 1 ln ⁡ h + 1 ⋅ ln ⁡ h + 1 + 1 h ln ⁡ h + 1

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ e h + 1 ln ⁡ h + 1 - 1 h + 1 ln ⁡ h + 1 ⋅ ln ⁡ h + 1 + ln ⁡ h + 1 1 h

Passo 2

Como o limite de produto é igual ao produto dos limites, temos:

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ e h + 1 ln ⁡ h + 1 - 1 h + 1 ln ⁡ h + 1 ⋅ lim h → 0 ⁡ ln ⁡ h + 1 + ln ⁡ h + 1 1 h

Para lim h → 0 ⁡ e h + 1 ln ⁡ h + 1 - 1 h + 1 ln ⁡ h + 1 , podemos chamar u = h + 1 ln ⁡ h + 1 de modo que quando h tende a zero, o valor de u também tende a zero. Logo:

lim h → 0 ⁡ e h + 1 ln ⁡ h + 1 - 1 h + 1 ln ⁡ h + 1 = lim u → 0 ⁡ e u - 1 u = 1

E para lim h → 0 ⁡ ln ⁡ h + 1 + ln ⁡ h + 1 1 h temos:

lim h → 0 ⁡ ln ⁡ h + 1 + ln ⁡ h + 1 1 h = lim h → 0 ⁡ ln ⁡ h + 1 + lim h → 0 ⁡ ln ⁡ h + 1 1 h

lim h → 0 ⁡ ln ⁡ h + 1 + ln ⁡ h + 1 1 h = 0 + ln ⁡ e = 0 + 1

lim h → 0 ⁡ ln ⁡ h + 1 + ln ⁡ h + 1 1 h = 1

Logo,

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ e h + 1 ln ⁡ h + 1 - 1 h + 1 ln ⁡ h + 1 ⋅ lim h → 0 ⁡ ln ⁡ h + 1 + ln ⁡ h + 1 1 h = 1 ⋅ 1 = 1

f ' 1 = 1

Resposta

f ' 1 = 1

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