Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 1i

Calcule, pela definição, a derivada da função dada, no ponto dado.

y = x x em p = 1 (Sugestão. Veja Exemplo 3 - 6.3 . )

Passo 1

A derivada de f x = y em p pode ser calculada pelo limite:

f ' p = lim h → 0 ⁡ f h + p - f p h

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ h + 1 h + 1 - f p h

Se temos que x x = e x  ln ⁡ x ,

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ e h + 1 ln ⁡ h + 1 - 1 h

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ e h + 1 ln ⁡ h + 1 - 1 h ⋅ h + 1 ln ⁡ h + 1 h + 1 ln ⁡ h + 1

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ e h + 1 ln ⁡ h + 1 - 1 h + 1 ln ⁡ h + 1 ⋅ h + 1 ln ⁡ h + 1 h

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ e h + 1 ln ⁡ h + 1 - 1 h + 1 ln ⁡ h + 1 ⋅ 1 + 1 h ln ⁡ h + 1

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ e h + 1 ln ⁡ h + 1 - 1 h + 1 ln ⁡ h + 1 ⋅ ln ⁡ h + 1 + 1 h ln ⁡ h + 1

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ e h + 1 ln ⁡ h + 1 - 1 h + 1 ln ⁡ h + 1 ⋅ ln ⁡ h + 1 + ln ⁡ h + 1 1 h

Passo 2

Como o limite de produto é igual ao produto dos limites, temos:

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ e h + 1 ln ⁡ h + 1 - 1 h + 1 ln ⁡ h + 1 ⋅ lim h → 0 ⁡ ln ⁡ h + 1 + ln ⁡ h + 1 1 h

Para lim h → 0 ⁡ e h + 1 ln ⁡ h + 1 - 1 h + 1 ln ⁡ h + 1 , podemos chamar u = h + 1 ln ⁡ h + 1 de modo que quando h tende a zero, o valor de u também tende a zero. Logo:

lim h → 0 ⁡ e h + 1 ln ⁡ h + 1 - 1 h + 1 ln ⁡ h + 1 = lim u → 0 ⁡ e u - 1 u = 1

E para lim h → 0 ⁡ ln ⁡ h + 1 + ln ⁡ h + 1 1 h temos:

lim h → 0 ⁡ ln ⁡ h + 1 + ln ⁡ h + 1 1 h = lim h → 0 ⁡ ln ⁡ h + 1 + lim h → 0 ⁡ ln ⁡ h + 1 1 h

lim h → 0 ⁡ ln ⁡ h + 1 + ln ⁡ h + 1 1 h = 0 + ln ⁡ e = 0 + 1

lim h → 0 ⁡ ln ⁡ h + 1 + ln ⁡ h + 1 1 h = 1

Logo,

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ e h + 1 ln ⁡ h + 1 - 1 h + 1 ln ⁡ h + 1 ⋅ lim h → 0 ⁡ ln ⁡ h + 1 + ln ⁡ h + 1 1 h = 1 ⋅ 1 = 1

f ' 1 = 1

Resposta

f ' 1 = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se o domínio de f for o conjunto de todos os números reais e f ' x = c f x para todo x onde c é uma constante, prove que existe uma constante k para a qual f x = k e c x para todo x .Sugestão: conside
Determine d y / d t em t=0, se y = 3 s e n 2 x e x = t 2 + π .
Suponha que as funções f ( x ) e g ( x ) e suas primeiras derivadas tenham valores a seguir em x=0 e x= 1 . x f(x) g(x) f’(x) g’(x)0 1 1 -3 ½1 3 5 ½ -4Encontre os valores das primeiras derivadas das c
Suponha que a função f ( x ) e sua primeira derivada tenham valores a seguir em x=0 e x= 1 . x f(x) f’(x)0 9 -21 -3 1/ 5Encontre as primeiras derivadas das combinações a seguir nos valores dados de x.
Uma pintura abstrata historicamente importante foi comprada em 1925 por R$ 200 e seu valor vem dobrando a cada 10 anos, desde sua compra. Se y for o valor da pintura t anos após sua compra.b) Qual o v