Calcule, pela definição, a derivada da função dada, no ponto dado. y = x^x em p = 1 (Sugestão. Veja Exemplo 3 - 6.3 ) Passo 1A derivada de f x = y em p pode ser calculada pelo limite: f ' p = lim h → 0 f h + p - f p h f ' 1 = lim h → 0 h + 1 h + 1 - f p h Se temos que x x = e x ln x , f ' 1 = lim h → 0 e h + 1 ln h + 1 - 1 h f ' 1 = lim h → 0 e h + 1 ln h + 1 - 1 h ⋅ h + 1 ln h + 1 h + 1 ln h + 1 f ' 1 = lim h → 0 e h + 1 ln h + 1 - 1 h + 1 ln h + 1 ⋅ h + 1 ln h + 1 h f ' 1 = lim h → 0 e h + 1 ln h + 1 - 1 h + 1 ln h + 1 ⋅ 1 + 1 h ln h + 1 f ' 1 = lim h → 0 e h + 1 ln h + 1 - 1 h + 1 ln h + 1 ⋅ ln h + 1 + 1 h ln h + 1 f ' 1 = lim h → 0 e h + 1 ln h + 1 - 1 h + 1 ln h + 1 ⋅ ln h + 1 + ln h + 1 1 h Passo 2Como o limite de produto é igual ao produto dos limites, temos: f ' 1 = lim h → 0 e h + 1 ln h + 1 - 1 h + 1 ln h + 1 ⋅ lim h → 0 ln h + 1 + ln h + 1 1 h Para lim h → 0 e h + 1 ln h + 1 - 1 h + 1 ln h + 1 , podemos chamar u = h + 1 ln h + 1 de modo que quando h tende a zero, o valor de u também tende a zero. Logo: lim h → 0 e h + 1 ln h + 1 - 1 h + 1 ln h + 1 = lim u → 0 e u - 1 u = 1 E para lim h → 0 ln h + 1 + ln h + 1 1 h temos: lim h → 0 ln h + 1 + ln h + 1 1 h = lim h → 0 ln h + 1 + lim h → 0 ln h + 1 1 h lim h → 0 ln h + 1 + ln h + 1 1 h = 0 + ln e = 0 + 1 lim h → 0 ln h + 1 + ln h + 1 1 h = 1 Logo, f ' 1 = lim h → 0 e h + 1 ln h + 1 - 1 h + 1 ln h + 1 ⋅ lim h → 0 ln h + 1 + ln h + 1 1 h = 1 ⋅ 1 = 1 f ' 1 = 1 Resposta f ' 1 = 1 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosUma partícula move-se ao longo de uma reta, de acordo com a equação do movimento s = A ∙ 2 k t + B ∙ 2 - k t , onde A , B e k são constantes e s m é a distância orientada da partícula a partir da origProve queD_{x}^{n} (ln(x)) = (-1)^{n-1} / (n-1)! * x^{n} Sugestão: Use indução matemática.Use os resultados dos exercícios 65 e 66 para provar que lim x → 1 x b - 1 x - 1 = b Sugestão: Escreva x b - 1 x - 1 = e b ln x - 1 b ln x b ln x x - 1 Então tome s = b ln x e t = x - 1Prove, usando a definição de uma derivada, queunderset(x - 0)(lim) (e^(a x) - 1)/(x) = aProve, sem usar a definição de uma derivada, que lim x → 0 a x - 1 x = ln a Sugestão: seja y = a x - 1 e expresse a x - 1 x como função de y , digamos, g y . Então mostre que y → 0 quando x → 0 e Ver TambémVer Livro Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz GuidorizziVer tudo sobre DerivadasLista de exercícios de Definição de DerivadasVer exercício 7.17 - 1dVer exercício 7.17 - 1e