Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.1 - Ex. 47
Determine o valor médio de sobre o retângulo dado:
, possui vértices
Passo 1
Falaa, tudo bem?
Essa questão pede pra gente calcular o valor médio de uma função, mas o que é isso??
Bom, o valor médio de uma função é basicamente um valor que se a gente multiplicar pela área de uma região , vamos encontrar o volume do sólido de sobre . A gente calcula assim:
Pra encontrar esse valor, então, vamos precisar primeiro calcular a área de , depois calcular essa integral, e substituir nessa fórmula.
Passo 2
Vamos começar tentando ver quem é esse . A questão diz que é um retângulo com vértices . Ele fica assim:
A gente pode expressar a região assim:
E a área desse retângulo fica:
Passo 3
O valor médio então vai ser calculado como:
Primeiro integrando em função de , mantendo constante:
Fazendo só a integral de dentro:
E agora ficamos com:
Passo 4
Vamos integrar em agora:
Prontinho! Esse é o valor médio😉