Determine o valor médio de f sobre o retângulo dado:

f(x, y) = x^2 * y , R possui vértices (-1,0, -1,5, 1,5, 1,0)

Passo 1

Falaa, tudo bem?

Essa questão pede pra gente calcular o valor médio de uma função, mas o que é isso??

Bom, o valor médio de uma função f é basicamente um valor que se a gente multiplicar pela área de uma região R , vamos encontrar o volume do sólido de f sobre R . A gente calcula assim:

f m é d i o = 1 A R ∬ R f x , y d A

Pra encontrar esse valor, então, vamos precisar primeiro calcular a área de R , depois calcular essa integral, e substituir nessa fórmula.

Passo 2

Vamos começar tentando ver quem é esse R . A questão diz que é um retângulo com vértices - 1,0 ,   - 1,5 ,   1,5 ,   1,0 . Ele fica assim:

A gente pode expressar a região assim:

R = x , y | - 1 ≤ x ≤ 1   e   0 ≤ y ≤ 5

E a área desse retângulo fica:

A R = 1 - - 1 ∙ 5 - 0 = 10

Passo 3

O valor médio então vai ser calculado como:

f m é d i o = 1 10 ∫ - 1 1 ∫ 0 5 x 2 y   d y d x

Primeiro integrando em função de y , mantendo x constante:

1 10 ∫ - 1 1 ∫ 0 5 x 2 y   d y d x = 1 10 ∫ - 1 1 x 2 ∫ 0 5 y   d y d x

Fazendo só a integral de dentro:

∫ 0 5 y   d y = y 2 2 0 5 = 25 2

E agora ficamos com:

= 1 10 ∫ - 1 1 25 x 2 2 d x

Passo 4

Vamos integrar em x   agora:

1 10 ∫ - 1 1 25 x 2 2 d x = 1 10 25 x 3 6 - 1 1 =

= 1 10 25 6 - - 25 6 =

= 1 10 50 6 =

= 5 6

Prontinho! Esse é o valor médio😉

Resposta

5 6

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