4-6. Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo theta .

f(x, y) = raiz(2x + 3y), (3, 1), θ = - (pi / 6)

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Para calcularmos a derivada direcional de f no ponto dado, isto é, D u f ( x ,   y ) , devemos utilizar a seguinte fórmula:

D u f x ,   y = f x x ,   y cos ⁡ θ + f y x ,   y s e n   θ

E aqui vale ressaltar que f x e f y são as derivadas da função f que foi dada em relação a x e a y , respectivamente.

A nossa função é a:

f x ,   y = 2 x + 3 y

O ponto x , y é o ponto:

3,1

E a direção é a:

- π 6

Passo 2

Já que falamos em derivadas, vamos encontrar nossas derivadas de uma vez logo, saca só:

f x ,   y = 2 x + 3 y

Vamos derivar apenas em função de x para encontrar essa derivada parcial:

f x = 1 2 2 x + 3 y - 1 2 ⋅ 2

Veja que foi necessário utilizar da regra da cadeia aqui, pois temos uma composição de função:

f x = 1 2 x + 3 y

Vamos fazer o mesmo, mas agora em relação a apenas y :

f y = 1 2 2 x + 3 y - 1 2 ⋅ 3

f y = 3 2 2 x + 3 y

O ponto que nos foi dado é ( 3 ,   1 ) , então:

f x 3 ,   1 = 1 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 1 = 1 3

f y 3 ,   1 = 3 2 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 1 = 1 2

Passo 3

Agora que já encontramos a derivada no ponto, vamos aplicar na fórmula da derivada direcional que escrevemos no passo 1, se liga:

D u f x ,   y = f x x ,   y cos ⁡ θ + f y x ,   y s e n   θ

Substituindo:

D u f 3 ,   1 = 1 3 ⋅ cos ⁡ - π 6 + 1 2 ⋅ s e n - π 6

Temos então que:

D u f 3 ,   1 = 1 3 ⋅ 3 2 - 1 2 ⋅ 1 2

E finalmente temos quem procurávamos:

D u f 3 ,   1 = 3 6 - 1 4

Resposta

D u f 3 ,   1 = 3 6 - 1 4

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