Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 6

4-6. Determine a derivada direcional de   f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo θ .

f x ,   y = 2 x + 3 y ,   3 ,   1 ,   θ = - π 6

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Para calcularmos a derivada direcional de f no ponto dado, isto é, D u f ( x ,   y ) , devemos utilizar a seguinte fórmula:

D u f x ,   y = f x x ,   y cos ⁡ θ + f y x ,   y s e n   θ

E aqui vale ressaltar que f x e f y são as derivadas da função f que foi dada em relação a x e a y , respectivamente.

A nossa função é a:

f x ,   y = 2 x + 3 y

O ponto x , y é o ponto:

3,1

E a direção é a:

- π 6

Passo 2

Já que falamos em derivadas, vamos encontrar nossas derivadas de uma vez logo, saca só:

f x ,   y = 2 x + 3 y

Vamos derivar apenas em função de x para encontrar essa derivada parcial:

f x = 1 2 2 x + 3 y - 1 2 ⋅ 2

Veja que foi necessário utilizar da regra da cadeia aqui, pois temos uma composição de função:

f x = 1 2 x + 3 y

Vamos fazer o mesmo, mas agora em relação a apenas y :

f y = 1 2 2 x + 3 y - 1 2 ⋅ 3

f y = 3 2 2 x + 3 y

O ponto que nos foi dado é ( 3 ,   1 ) , então:

f x 3 ,   1 = 1 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 1 = 1 3

f y 3 ,   1 = 3 2 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 1 = 1 2

Passo 3

Agora que já encontramos a derivada no ponto, vamos aplicar na fórmula da derivada direcional que escrevemos no passo 1, se liga:

D u f x ,   y = f x x ,   y cos ⁡ θ + f y x ,   y s e n   θ

Substituindo:

D u f 3 ,   1 = 1 3 ⋅ cos ⁡ - π 6 + 1 2 ⋅ s e n - π 6

Temos então que:

D u f 3 ,   1 = 1 3 ⋅ 3 2 - 1 2 ⋅ 1 2

E finalmente temos quem procurávamos:

D u f 3 ,   1 = 3 6 - 1 4

Resposta

D u f 3 ,   1 = 3 6 - 1 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

8. Encontre a derivada direcional de f x , y , z = x e y 2 - z 2 em P = ( 1,2 , - 2 ) na direção do vetor tangente σ ' t à curva σ t = ( t , 2 cos ⁡ ( t - 1 ) ,- 2 e t - 1 ) .
10. Uma chapa de metal aquecida está situada no plano x y de tal modo que a temperatura é inversamente proporcional à distância do ponto à origem. A temperatura em 3,4 é de 100 graus. Suponha que os e
11. As superfícies de equações: F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 3 = 0eG x , y , z = x 2 + 2 x + y 2 - 4 = 0 têm como interseção uma curva C que passa pelo ponto P 0 = ( 1,1 , 1 ) .b) Encontre a direçã
7- Considerando a função f x ,y = x 2 + y 2 - 2 y em P 0 = ( 2 ,2 ) . Determine:b)A taxa de variação de f em P 0 na direção do vetor tangente g ´ ( t ) à curva g t = ( t ,t 2 - t ) em ( 3 ,6 ) .
Nos exercícios 1 a 4, encontre a derivada direcional no ponto P 0 na direção do vetor u , nos seguintes casos:3- f x ,y ,z = ln ⁡ ( x 2 + y 2 + z 2 ) , P 0 = 1,2 ,3 ,u = ( 1 ,- 1 ,- 1 )