Determine o valor médio de f sobre o retângulo dado:

f(x, y) = e^y * raiz(x + e^y), R = [0,4] × [0,1]

Passo 1

E ai, galerinha, beleza??

A gente vai ter que calcular o valor médio de uma função sobre um retângulo.

O valor médio de uma função f é um valor que quando multiplicado pela área da região R dá o volume do sólido de f sobre R , e é calculado assim:

f m é d i o = 1 A ( R ) ∬ R f x , y d A

Então a gente primeiro vai calcular a área de R , depois a integral de f sobre R e assim achamos o valor médio!

Passo 2

Vamos lá, primeiro vamos ver como é esse retângulo.

R = 0,4 × 0,1 = = x , y | 0 ≤ x ≤ 4   e   0 ≤ y ≤ 1

Assim, a gente já tem os intervalos de integração, e a área é calculada como:

A R = 4 - 0 ∙ 1 - 0 = 4

Passo 3

O valor médio então é encontrado assim:

f m é d i o = 1 4 ∫ 0 4 ∫ 0 1 e y x + e y d y d x =

Começamos integrando em y , com x constante:

= 1 4 ∫ 0 4 ∫ 0 1 e y x + e y d y d x =

Pra calcular essa integral, vamos usar uma substituição:

u = x + e y → d u = e y d y u 0 = x + 1 u 1 = x + e

= 1 4 ∫ 0 4 ∫ x + 1 x + e u d u d x =

= 1 4 ∫ 0 4 u 3 / 2 3 2 x + 1 x + e d x =

Agora retornando pra variável original:

= 1 4 ∫ 0 4 2 3 x + e 1 3 2 - 2 3 x - e 0 3 2 d x =

= 1 4 2 3 ∫ 0 4 x + e 3 2 - x - 1 3 2 d x =

= 1 6 ∫ 0 4 x + e 3 2 - x - 1 3 2 d x

Passo 4

Vamos integrar em x   agora.

1 6 ∫ 0 4 x + e 3 2 - x - 1 3 2 d x =

1 6 ∙ ∫ 0 4 x + e 3 2 d x - ∫ 0 4 x - 1 3 2 d x =

Vamos calcular essas duas integrais separadas, em ambas vamos usar substituição:

∫ 0 4 x + e 3 2 d x =

u = x + e → d u = d x u 0 = e u 4 = 4 + e

= ∫ e 4 + e u 3 / 2 d u = u 5 2 5 2 e 4 + e = 2 5 ∙ 4 + e 5 / 2 - e 5 / 2

A segunda integral fica:

∫ 0 4 x + 1 3 2 d x =

u = x + 1 → d u = d x u 0 = 1 u 4 = 5

= ∫ 1 5 u 3 / 2 d u = u 5 2 5 2 1 5 = 2 5 ∙ 5 5 / 2 - 1 5 / 2

Juntando tudo:

1 6 ∙ ∫ 0 4 x + e 3 2 d x - ∫ 0 4 x - 1 3 2 d x =

= 1 6 ∙ 2 5 ∙ 4 + e 5 / 2 - e 5 / 2 - 5 5 / 2 + 1

⇒ f m é d i o = 1 15 ∙ 4 + e 5 2 - e 5 2 - 5 5 2 + 1

E esse é o valor médio!

Resposta

1 15 ∙ 4 + e 5 2 - e 5 2 - 5 5 2 + 1

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