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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.1 - Ex. 62

Determine os valores extremos (absoluto e local) das funções e onde ocorrem:

y = x + 1 x 2 + 2 x + 2

Passo 1

Sabendo que um ponto crítico é um valor extremo de uma função, a derivada da função deve ser igual a 0, uma vez que representa a inclinação de uma reta tangente que passa por esse ponto.

Encontrados os pontos críticos, é necessário ter noções do gráfico da função para classificá-los como máximo ou mínimo, global ou local.

Passo 2

Derivando a função segundo a regra do quociente, vamos ter:

y ' = x 2 + 2 x + 2 - x + 1 2 x + 2 x 2 + 2 x + 2 2

y ' = x 2 + 2 x + 2 - 2 x 2 - 2 x - 2 x - 2 ( x 2 + 2 x + 2 ) ²

y ' = - x 2 - 2 x x 2 + 2 x + 2 2

Passo 3

Igualando a derivada a 0, encontraremos os pontos críticos

- x 2 - 2 x x 2 + 2 x + 2 2 = 0

- x x + 2 = 0

x 1 = 0

x 2 = - 2

Passo 4

Substituindo na função original, vamos ter:

y 0 = 0 + 1 0 2 + 2 × 0 + 2 = 1 2

y - 2 = - 2 + 1 ( - 2 ) 2 + 2 × ( - 2 ) + 2 = - 1 2

Passo 5

Analisando graficamente, é possível ver quais pontontos correspondem a máximos e mínimos:

Resposta

M í n i m o   g l o b a l   e m   x = - 2   e   M á x i m o   g l o b a l   e m   x = 0

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