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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.1 - Ex. 54

54. Usando os resultados dos Exercícios 51 e 52 como referência, determine uma translação de eixos tal que a equação y = 1 2 3 s e n   x + cos ⁡ x + 2 torne – se y ' = s e n   x ' .

Passo 1

Vamos entender que se ( x , y ) representa as coordenadas de qualquer ponto P em relação a um dado conjuntos de eixos que tínhamos, então uma translação para uma nova origem com coordenadas ( h ,   k ) em relação aos eixos antigos, então ( x ' , y ' ) representam as coordenadas do mesmo ponto em relação a nova origem. E são dados por:

x = x ' + h           e           y = y ' + k

Temos que achar h e k que satisfaça o que o enunciado pede.

Passo 2

Vamos pensar um pouco, se uma equação de uma curva é dada em x e y então a equação em x’ e y’ será obtida substituindo as igualdades que vimos no passo 1 na nossa equação. Assim:

y = 1 2 ( 3 s e n   x + cos ⁡ x ) + 2

⇒ y ' + k = 1 2 3 s e n   x ' + h + cos ⁡ x ' + h + 2

⇒ y ' = 1 2 3 ( s e n   x ' ⋅ cos ⁡ h + s e n   h ⋅ cos ⁡ x ' ) + cos ⁡ x ' ⋅ cos ⁡ h - s e n   h ⋅ s e n   x ' + 2 - k

⇒ y ' = 1 2 s e n   x ' 3 cos ⁡ h - s e n   h + cos ⁡ x ' 3 s e n   h + cos ⁡ h + 2 - k

Para que essa expressão seja igual a y ' = s e n   x ' , temos que:

1 2 3 cos ⁡ h - s e n   h = 1

1 2 3 s e n   h + cos ⁡ h = 0

2 - k = 0

Para que essas igualdades sejam verdadeiras:

h = - π 6           e           k = 2

Resposta

Precisa ser feita uma translação para que a nova origem seja - π 6 , 2 .

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