Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ - ∞ + ∞ ( 2 - x 4 )   d x

Passo 1

A questão pede para verificarmos a convergência da integral imprópria e, se possível, calculá-la.

Note que para essa integral, os dois limites de integração são infinitos: então vamos quebra-la em duas:

∫ - ∞ 0 ( 2 - x 4 )   d x + ∫ 0 + ∞ ( 2 - x 4 )   d x

Se ambas as integrais convergirem separadamente, então a soma também vai ser convergente. Se uma delas divergir, então a soma será divergente.

Passo 2

Vamos focar na segunda integral e trocar o limite infinito por t :

∫ 0 t ( 2 - x 4 )   d x = 2 x - 1 5 x 5 0 t = 2 t - t 5 5

Passo 3

Tomando o limite com t → ∞ , como temos um polinômio em t , é evidente que o limite será infinito de modo que essa integral será divergente. Assim, não precisamos nem olhar para a outra integral: se uma delas diverge, então a soma divergirá!

Portanto, a integral ∫ - ∞ + ∞ ( 2 - x 4 )   d x é divergente!

Resposta

Diverge.

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