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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 13

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ - ∞ + ∞ x e - x 2   d x

Passo 1

A questão pede para verificarmos a convergência da integral imprópria e, se possível, calculá-la.

Para calcular essa integral, devemos separar a integral em duas pois ambos os limites de integração são infinitos:

∫ - ∞ + ∞ x e - x 2   d x = ∫ - ∞ 0 x e - x 2   d x + ∫ 0 + ∞ x e - x 2   d x

A integral será convergente se ambas essas integrais forem!

Passo 2

Primeiro vamos procurar uma primitiva para a função x e - x 2 . Fazendo u = - x 2 , segue que d u = - 2 x   d x , assim

∫ x e - x 2 d x = - 1 2 ∫ e u d u = - 1 2 e u

Desta forma,

∫ x e - x 2 d x = - 1 2 e - x 2

Passo 3

Agora vamos nos preocupar com as integrais impróprias. A primeira será

∫ - ∞ 0 x e - x 2   d x = lim t → - ∞ ⁡ ∫ t 0 x e - x 2 d x

= lim t → - ∞ ⁡ - 1 2 e - x 2 t 0

= lim t → - ∞ ⁡ 1 2 e - t 2 - 1 2 = - 1 2

Analogamente,

∫ 0 ∞ x e - x 2   d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 ∞ x e - x 2 d x

= lim t → ∞ ⁡ - 1 2 e - x 2 0 t

= lim t → - ∞ ⁡ - 1 2 e - t 2 + 1 2

= + 1 2

Como as duas integrais são convergentes, temos que

∫ - ∞ + ∞ x e - x 2   d x = ∫ - ∞ 0 x e - x 2   d x + ∫ 0 + ∞ x e - x 2   d x = - 1 2 + 1 2 = 0

Converge.

Resposta

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