Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.4 - Ex. 12
Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.
Passo 1
Primeiramente, vamos relembrar o que é cada uma dessas definições.
Dado uma função , função posição, a velocidade é a primeira derivada desta função. Logo,
Já a velocidade escalar é nada mais nada menos que a norma do vetor velocidade! Por fim, a aceleração é a primeira derivada da velocidade, e consequentemente, a segunda derivada da função posição:
Portanto, precisamos partir para derivar a nossa função!
Passo 2
Inicialmente, vamos calcular a velocidade da nossa partícula. Para isto, basta derivar cada uma das coordenadas separadamente. Logo,
Ou também podemos escrever da seguinte forma:
Observem que uma coordenada não influencia na outra!
Passo 3
Para calcularmos a velocidade escalar da partícula, precisamos calcular a norma do vetor aceleração. Portanto, podemos assumir um sistema de coordenada ortogonal e tirar a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada uma das coordenadas! Logo,
Passo 4
Por fim, vamos calcular a aceleração da nossa partícula. Para isto, basta derivarmos a função velocidade. Logo,
Resposta
Velocidade:
Velocidade escalar:
Aceleração: