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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.4 - Ex. 2

Encontre T, N e k para as curvas planas nos Exercícios 1-4

r t = ( ln ⁡ sec ⁡ t ) i + t j , - π 2 < t < π 2

Passo 1

Fala minha galera querida!! Vamos encontrar o unitário, a normal do unitário e a curvatura a partir das fórmulas que aprendemos na seção, mas antes devemos encontrar v e seu módulo.

v = d r d t = d d t ln ⁡ sec ⁡ t i + t j

v = t g   t   i + j

v = ( t g   t ) 2 + 1 2

Das relações trigonométricas temos que 1 + t g 2   t = sec 2 ⁡ t

v = sec 2 ⁡ t

v = sec ⁡ t

Passo 2

Vamos encontrar T ,

T = v v

T = t g   t   i + j sec ⁡ t

T = sen ⁡ t i + cos ⁡ t j

Passo 3

Para encontrar a normal precisamos derivar o unitário em t e depois encontrar o módulo,

d T d t = d d t sen ⁡ t i + cos ⁡ t j

d T d t = cos ⁡ t   i - sen ⁡ t j

d T d t = c o s   t 2 + - sen ⁡ t 2

d T d t = 1

N = d T d t d T d t

N = cos ⁡ t   i - sen ⁡ t j 1

N = cos ⁡ t i - sen ⁡ t j

Passo 4

E por último vamos encontrar a curvatura,

k = 1 v ⋅ d T d t

k = 1 sec ⁡ t ⋅ 1

k = cos ⁡ t

Te espero na próxima questão 😉.

Resposta

T = sen ⁡ t i + cos ⁡ t j , N = cos ⁡ t i - sen ⁡ t j , k = cos ⁡ t .

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