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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.4 - Ex. 3

Encontre T, N e k para as curvas planas nos Exercícios 1-4

r t = 2 t + 3 i + ( 5 - t 2 ) j

Passo 1

Fala minha galera querida!! Vamos encontrar o unitário, a normal do unitário e a curvatura a partir das fórmulas que aprendemos na seção, mas antes devemos encontrar v e seu módulo.

v = d r d t = d d t 2 t + 3 i + ( 5 - t 2 ) j  

v = 2 i - 2 t j

v = ( 2 ) 2 + 2 t 2

v = 4 + 4 t 2

v = 2 1 + t 2

Passo 2

Vamos encontrar T ,

T = v v

T = 2 i - 2 t j 2 1 + t 2

T = 1 1 + t 2 i - t 1 + t 2 j

Passo 3

Para encontrar a normal precisamos derivar o unitário em t e depois encontrar o módulo,

d T d t = d d t 1 1 + t 2 i - t 1 + t 2 j

d T d t = - t 1 + t 2 3 / 2 i - 1 1 + t 2 3 / 2 j

d T d t = - t 1 + t 2 3 / 2 2 + - 1 1 + t 2 3 / 2 2

d T d t = 1 1 + t 2

N = d T d t d T d t

N = - t 1 + t 2 3 / 2 i - 1 1 + t 2 3 / 2 j 1 1 + t 2

N = - t 1 + t 2 i - 1 1 + t 2 j

Passo 4

E por último vamos encontrar a curvatura,

k = 1 v ⋅ d T d t

k = 1 2 1 + t 2 ⋅ 1 1 + t 2

k = 1 2 1 + t 2 3 / 2

Te espero na próxima questão 😉.

Resposta

T = 1 1 + t 2 i - t 1 + t 2 j , N = - t 1 + t 2 i - 1 1 + t 2 j , k = 1 2 1 + t 2 3 / 2 .

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